Polynomdivision:Es gibt genau einen Wert von b; so dass diese Gleichung noch genau eine weitere Lösung hat.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Die Gleichung x^3−(b−2)*x^2+3*x+b+2=0 hat die Lösung x1=−1 (für jede Wahl von b).

Es gibt genau einen Wert von b; so dass diese Gleichung noch genau eine weitere Lösung hat.

Bestimme das b

Answer 1

mit Polynomdivison durch  x+1 ergibt sich

(hier mit dem Hornerschema):    (ggf. einfach anklicken!) 

	1	-(b-2)	3	b+2
x=-1	-	-1	b-1	-b-2
	1	-b+1	b+2	0

→    f(x)  =  (x+1) · ( x² + (-b+1) · x + b+2 )

 x² + (-b+1) · x + b+2  = 0

\(\text{pq-Formel: }x^2+px+q=0\text{ }\text{ }\text{mit  p = -b+1  ;  q = b+2}\)
\( x_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}\)

Die Diskriminante (Term unter der Wurzel) muss dann  = 0  sein, was für b die Gleichung

 b² - 6·b - 7 = 0     mit den Lösungen   b₁ = 7  und  b₂ = -1  ergibt.

Da sich für b = -1 wieder x₂ = -1  ergibt, verbleibt für das gesuchte b nur  b = 7 mit x₂ = 3

Gruß Wolfgang

Comments

Könntest du mir vielleicht die ganze Polynomdivision zeigen? Ich würde es gerne so bestimmen , jedoch fällt es mir mit einer Variable sehr schwer.

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... jedoch fällt es mir mit einer Variable sehr schwer.

Eben deshalb solltest du dir mal das Hornerschema anklicken. Das vereinfacht dir auch in Zukunft Polynomdivisionen durch Linearfaktoren sehr!

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Und ich habe noch eine Frage. Wenn man q=b+2 in die pq Formel einsetzt dann kommt

b^2-6*b-5=0 raus, da -(b+2)=-b-2 ergibt oder?

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[(-b+1)/2]² - (b+2) = (b² - 2b + 1) /4  - 4b/4 - 8/4

 ergibt unter der Wurzel (b² - 6·b - 7)/4

(b² - 6·b - 7)/4 = 0  | · 4

ergibt dann  b² - 6·b - 7 = 0

Answer 2

Eine Polynomdivison ergibt
b + x + x^2 -bx + 2

b + x + x^2 -bx + 2  = 0
x =

oder

Für b = -1 oder b = 7 entfällt die Wurzel

b = -1 => x = -1 ( die Lösung hatten wir schon )

b = 7 => x = 3