Alles Unsinn . Ich hoffe zu deinen Gunsten, dass du schon der Differenzialrechnung mächtig bist . Denn wer nicht ableiten kann, schaut die Matematik an mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt .
Hast nichg auch du die frage gestellt nach der k_fachen Polstelle? Auch hier gebe ich meinem Bedauern Ausdruck, dass natürlich auch ganz rationale, nicht nur gebrochen rationale Funktionen mehrfache Nullstellen haben - weißt du doch aus dem Elementarunterricht . Z.B.
f ( x ) := ( x - 1 ) ( x - 4 711 ) ^ 4 712 ( 1a )
Aber transzendente Funktionen können auch welche haben.
f ( x ) := sin ^ 4 711 ( x ) ( 1b )
Da gibt es jetzt zwei äquivalente Definitionen :
DEFINITION 1
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Eine Funktion y = f ( x ) besitzt in x0 eine k-fache Nullstelle, falls es auf einer ( offenen ) Umgebung von x0 eine k_mal differenzierbare Funktion g ( x ) gibt mit
f ( x ) =: ( x - x0 ) ^ k g ( x ) ( 2 )
Aus ( 2 ) ergeben sich selbst redend alle Funktionswerte von g - mit Ausnahme von g ( x0 ) , da ja die Division durch Null verboten ist. Wir setzen
g0 =: g ( x0 ) := lim g ( x ) ( 3a )
x ===> x0
g0 ist wohl definiert, da ja g differenzierbar, also insbesondere stetig ist . Dann wollen wir aber zusätzlich noch die Ungleichung fordern
g0 < > 0 ( 3b )
da ja ansonsten der exponent k in ( 2 ) mehrdeutig wäre .
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DEFINITION 2
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Eine auf einer Umgebung von x0 k-Mal differenzierbare Funktion y = f ( x ) hat eine k-fache Nullstelle, falls
f ( x0 ) = f ' ( x0 ) = f " ( x0 ) = ... = ( d/dt ) ^ ( k - 1 ) f ( x0 ) = 0 ( 4a )
( d/dt ) ^ k f ( x0 ) < > 0 ( 4b )
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Nur um nal zu zeigen, wie wichtig dass das Keiterium der Differenzierbarkeit ist. Die Betragsfunktion hat eine Nullstelle für x = 0 ; diese Nullstelle hat überhaupt keine irgendwie definierte " Ordnung " Weil die Betragsfunktion nicht differenzierbar ist .
