also die Aufgabe war:
Angenommen, für die Menge der geordneten Paare reeller Zahlen sollen eine Vektoraddition und eine Multiplikation mit einem Skalar durch
$$(\alpha_1, \alpha_2) + (\beta_1, \beta_2) := (\alpha_1 + \beta_2, \alpha_2 + \beta_1)$$
$$\lambda \cdot (\alpha_1, \alpha_2) := (\lambda \cdot \alpha_1, \lambda \cdot \alpha_1)$$
definiert werden.
1. Zeigen Sie, dass in diesem Fall das Vektorraumaxtiom V1 nicht erfüllt ist!
2. Zeigen Sie, dass für die beschriebene Struktur die Vektorraumaxiome V2 und V3 gelten!
3. Ist in diesem Fall das Vektorraumaxiom V4 erfüllt?
Meine Lösungen:
1. Seien $$a = (\alpha_1, \alpha_2) \in V, \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$$ und $$b = (\beta_1, \beta_2) \in V, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb{R}$$ und $$c = (\gamma_1, \gamma_2) \in V, \gamma_1, \gamma_2 \in \mathbb{R}$$, dann ist $$(a + b) + c \neq a + (b + c)$$, weil
$$((\alpha_1, \alpha_2) + (\beta_1, \beta_2)) + (\gamma_1, \gamma_2) = (\alpha_1 + \beta_2 + \gamma_1, \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_1)$$
$$\neq$$
$$(\alpha_1, \alpha_2) + ((\beta_1, \beta_2) + (\gamma_1, \gamma_2)) = (\alpha_1 + \beta_2 + \gamma_1, \alpha_2 + \beta_1 + \gamma_2)$$
2. Es existiert der Nullvektor $$o = (0, 0) \in V$$. Sei das geordnete Paar $$(\alpha_1, \alpha_2) \in V$$ mit $$\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$$. Dann ist
$$(\alpha_1, \alpha_2) + (0, 0) = (\alpha_1 + 0, \alpha_2 + 0) = (\alpha_1, \alpha_2)$$
und V2 gilt.
Die anderen Beweise habe ich sehr ähnlich geführt. Ist das generell die richtige Vorgehensweise und sind die Beweise formal und inhaltlich korrekt?
Danke,
Thilo
