Quadratische Gleichung z^2 - 4 i z + 4 z - 8 i = 0 mit komplexen Zahlen lösen

Question

wie löst man diese Aufgabe?$$z ^ { 2 } - 4 i z + 4 z - 8 i = 0$$Gruß

Answer 1

Das ist das Gleiche wie  ( z - (2i-2))^2 = 0

also z=2i-2

Comments

Ich verstehe, dass das das Gleiche ist. Aber wie genau kommt man vom langen zum kurzen Term?

Answer 2

Faktorisiere \(-4iz+4z\):$$z^2-(4-4i)z-8i=0$$ Nun kannst du einfach die PQ-Formel verwenden:$$z_{1,2}=-\frac{-(4-4i)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-(4-4i)}{2}\right)^2+8i}$$$$z_{1,2}=2-2i \pm 0$$

Kontrolle:$$z_{1,2}=2-2i$$

Answer 3

Hallo Wessowang,

das geht auch mit der pq-Formel:

\(z ^ { 2 } - 4 i z + 4 z - 8 i = 0\)

\(z ^ { 2 } + 4·(1- i)·z  - 8 i = 0\)

\(\text{pq-Formel: }z^2+zx+q=0\text{ }\text{ }\text{mit  p =  4·(1- i)   ;  q = -8i}\)
\( z_{1,2} = -\frac { p }{ 2 } \pm \sqrt{ \left(\frac { p }{ 2 }\right)^2-q}\)

\( z_{1,2} = - 2·(1-i) ±\sqrt{ 4·(1-i)^2+8i}=z_{1,2} = 2i-2 ±\sqrt{ 4-8i-4+8i}\)
→ \(z=2i-2\)

Gruß Wolfgang