Für welche Werte von a hat die quad. Gleichung genau eine Lösung?

Question

Die Aufgabe lautet, wie im Titel: Für welche Werte von a hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung?

Die quadratische Gleichung lautet: x^2-(a+2)x+1=0

Mir ist bewusst, dass ich die p-q-Formel benutzen kann und die Diskriminante gleich null setzen soll. Wenn ich das mache bekomme ich a=0 heraus. Das ist laut Lösungen auch korrekt, allerdings soll es ein zweite Lösung mit a= -4 geben nur ich weiß nicht, wie  ich das heraus bekommen kann.

Answer 1

(a+2)^2/4 -1=0

(a+2)^2/4  =1

(a+2)^2  =4

a^2  +4a +4 -4=0

a^2  +4a =0

a(a+4)=0

Satz vom Nullprodukt:

a₁=0

a₂= -4

Comments

Vielen Dank, habe meinen Fehler entdeckt.

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Die quadratische Gleichung

a·x^2 + b·x + c = 0

hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante

D = b^2 - 4·a·c = 0

ist.

Bei dir bedeutet das

x^2 - (a + 2)·x + 1 = 0

D = (a + 2)^2 - 4·1·1 = 0
(a + 2)^2 = 4
a + 2 = ± 2
a = - 2 ± 2 --> a = -4 oder a = 0

Answer 2

x^2 ± 2x + 1 = (x ± 1)^2

Nur mal so zur Erinnerung an die binomische Formeln.

Comments

Für welche Werte von a hat die quadratische Gleichung $$x^2-(a+2)\cdot x+1=0 $$ genau eine Lösung?

Die gegebene quadratische Gleichung hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn sich der quadratische Term auf der linken Seite als Produkt von zwei identischen Linearfaktoren zerlegen lässt. Die linke Seite ist in diesem Fall also ein Binom. Das geht nur, wenn $$(a+2)=2\textrm{ oder }(a+2)=-2$$ ist, also für $$a=0\textrm{ oder }a=-4.$$

Answer 3

ich würde nach Schema F vorgehen

x^2-(a+2)x+1=0
x^2-(a+2)x = -1
x^2-(a+2)x + [( a+2)/2 ] ^2 = -1 + [( a+2)/2 ] ^2
( x - ( a +2 )/ 2 )^2 = term
x - ( a +2 ) / 2 = ±√ term
x = ( a +2 ) / 2  ±√ term
1 Lösung gibt es falls term = 0  dann ist

x = ( a +2 ) / 2

term = 0
-1 + [( a+2)/2 ] ^2 = 0
[( a+2)/2 ] ^2 = 1
( a+2)/2 = ±1
a + 2 = ±2

a = 0
und
a = -4

Answer 4

Gesucht ist eine Lösung:

\(x^2-(a+2)x+1=0\)

Auflösen nach a

\(x^2-ax-2x+1=0\)

\(a =x-2+\frac{1}{x}\)    mit \(x≠0\)

\(x-2+\frac{1}{x}=0\) 

\(x^2-2x+1=0\)

\((x-1)^2=0\)

\(x=1\)   bei \(a=0\)

\(a' =1-\frac{1}{x^2}\)

\(a' =1-\frac{1}{x^2}\)

\(a' =1-\frac{1}{x^2}\)

\(1-\frac{1}{x^2}=0\)

\(x_1=1\) bei \(a=0\) siehe oben

\(x_2=-1\)  bei     \(a =-1-2-1=-4\)