Beweis von Grenzwerten mit Potenz- und Logarithmusfunktionen: x^n * ln(x)

Question

Wie beweise ich ........

a)  lim       xⁿ * ln(x)   =   0                                  

     x ->  0

 

b)   lim          ln(x)  /  xⁿ   =  0

    x-> ∞  

 

Bitte um eure Hilfe

Answer 1

Hi,

benutze jeweils den l'Hospital.

a) Hier musst Du das zuvor noch umschreiben:

$$\lim_{x\to0} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{x^n}} = \{\text{l'Hospital anwenden}\} = \lim_{x\to0} \frac{\frac1x}{-n\frac{1}{x^{n+1}}}$$

$$ = \lim_{x\to0} \frac{x^n}{-n} = 0$$

b) Direkt l'Hospital anwenden

$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = \{\text{l'Hospital anwenden}\} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac1x}{nx^{n-1}} $$

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{nx^n} = 0$$

Grüße

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Gern ;)                     .