Gleichung Polynom: x³-6x²+11x-6=0

Question

x³-6x²+11x-6=0 

Kann das wer schritt für schritt erklären ?

Answer 1

x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

Da die Summe der Koeffizienten Null ist ist x = 1 eine Lösung. Nun macht man eine Polynomdivision oder das Horner Schema.

(x³ - 6x² + 11x - 6) / (x - 1) = x² - 5x + 6

Mit dem Satz von Vieta ergibt sich

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0

Damit sind weitere Nullstellen x = 2 oder x = 3.

Comments

Kann man ab hier, die PQ formel wenden ?

x2 - 5x + 6

und Danke

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Sobald du einen quadratischen Ausdruck wie dir hast, ja.

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Prinzipiell kann man hier gleich alle Nullstellen erraten.

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Kann man ab hier, die PQ formel wenden ?
x² - 5x + 6

Ja. Ganz richtig angeführt.
x² - 5x + 6 = 0

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Da die Summe der Koeffizienten Null ist ist x = 1 eine Lösung

War das jetzt nur bei dieser Aufgabe so oder ist es immer so das wen die Koeffizienten 0 sind x = 1 ist?

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War das jetzt nur bei dieser Aufgabe so oder ist es immer so das wen die Koeffizienten 0 sind x = 1 ist?

Das ist immer so! Kann man auch leicht überprüfen. Sind die Nullstellen eines Polynoms gesucht, so sieht das so aus:$$0= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \dots$$Für $x=1$ steht doch da:$$0= a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots$$und wenn dies aufgeht, so ist $x=1$ auch eine Lösung. Und in diesem Fall ist $1-6+11-6=0$ und damit $x=1$ eine Lösung.

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Das ist immer so

ax² + bx + c = 0

Wenn 1 eine Nullstelle ist setzen wir für x = 1 ein und erhalten

a + b + c = 0

Dann ist also die Summe der Koeffizienten gleich Null. Und hier gilt auch die Umkehrung.

Answer 2

Achso die Lösungen sind :

x1= 1

x2= 2

x3=3

Comments

Ja, gut.                           .

Answer 3

Mittels HORNER SCHEMA, falls behandelt: