Gleichung lösen. Polynom 3. Grades mit Parameter a.

Question

Hi kann mir jemand diese Gleichung nach x umstellen, danke

 

a^3-a^2+ax=-x^3+x^2

Answer 1

 

Gemäss dem, was WolphramAlpha dazu meint, ist x=(1-a) eine Lösung. 

Diese müsste man durch Raten finden und dann mit der Polynom die weiteren Lösungen bestimmen.

 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E3-a%5E2%2Bax%3D-x%5E3%2Bx%5E2

Das heisst 

x^3-x^2 +ax + a^3-a^2=0 enthält den Faktor (x-(1-a))=(x-1+a)

Nach der Polynomdivision durch (x-1+a) bleibt dann eine quadratische Gleichung für zwei weitere komplexe x-Werte.

Reelle Lösungen findet man keine zusätzlichen.

  (x^3-x^2 +              ax +                          a^3-a^2):(x-1+a) = x^2 - ax +a^2

-(x^3-x^2+ax^2)

----------------------

                   -ax^2

                -(-ax^2 + ax -a^2x)

                -------------------------

                                        a^2x

                                     -(a^2x             -a^2 + a^3)

                                    ------------------------------------

                                             0     +0 +0

Division geht auf, also ist x₁=1-a tatsächlich eine Lösung.

Wenn man x^2 - ax +a^2=0 nach der Formel für quadratische Gleichungen auflöst. (p= -a und q =a^2 einsetzen, oder in der abc-Formel für a die 1, für b das '-a' und für c das â^2) kommt man auf die beiden komplexen Lösungen.

x_2,3 = 0.5 ( a ± √(a^2  - 4 a^2)) =  0.5 ( a ± √( - 3 a^2)) = 0.5 ( a ± ai√ 3) = 0.5 a(1±i √3)

Die beiden komplexen Lösungen.

Comments

Das heißt es gibt keine Äquivalenzumformung, die mich zu x=1-a führt?

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Es gibt durchaus ein Lösungsverfahren für kubische Gleichungen. Das wird aber in der Regel in der Schule nicht behandelt.

Ich weiss nicht, ob dieses Lösungsverfahren auf Äquivalenzumformungen beruht. Bezweifle es aber.