Kurvendiskussion und Tangente

Question

 ich habe folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f(x) = x(1-ln(x))

mit den Ableitungen:

f‘(x) = -ln(x)

f“(x) = -1/x

f“‘(x)= 1/(x^2)

a) Geben Sie den maximalen reellen Definitionsbereich an.

Antwort: Df = R\{0}

b) Geben Sie die Abzissen alle Nullstellen an.

Antwort: x = 0 und x = e

c) Prüfen Sie ob lokale Extrema existieren und geben Sie diese ggf. an.

f‘(x) = -ln(x)

A: Kann nicht = 0 werden, daher keine Extrema

d) Untersuchen Sie die Funktion auf Wendepunkte!

A: f“(x) = -1/x

Kann nicht = 0 werden, daher kein Wendepunkt

e) In welchem Punkt (a,f(a)) muss man die Tangente an den Graphen von f anlegen, damit diese Tangente durch den Punkt P(0,3) verläuft?

Berechnen Sie die Abzisse a des Berührpunktes!

Ich habe leider keine Ergebnisse und das ist eine alte Klausuraufgabe! Bin etwas skeptisch das bei 2 Teilen keine Lösung zustande kommt. Würd mich freuen wenn jemand über die Teilaufgaben a-e kurz drüberschauen könnte ob ich diese so richtig gelöst habe. Außerdem bräuchte ich für e einen Tipp, da komme ich überhaupt nicht weiter.

Danke für die Hilfe

Answer 1

a) \(D_f = \left\{x\in \mathbb{R} \vert x>0 \right\}\), denn der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert. Daher ist auch 

b) \(x=\text{e}\) die einzige Nullstelle.

c) Wegen \(f'(x)=-\ln(x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=1\) ist 1 eine mögliche Extremstelle.

d) ist ok.

e) \(y=f'(a)\cdot(x-0)+3\) geht durch \((0\vert 3)\) mit der Steigung \(f'(a)\).

PS: Falsche Extremstelle x=e in c) ausgetauscht.

Comments

e) Fortsetzung: Mit dem Ansatz

$$f'(a)=\dfrac{f(a)-3}{a-3}$$lässt sich das gesuchte \(a\) bestimmen. Dabei steht rechts die Steigung der Tangente als Differenzenquotient aus den Koordinaten des Berührpunktes und des Punktes P(0|3) und links die Steigung der Tangente als Ableitung von f an a.

Answer 2

Hallo

1. wenn man 2 Nullstellen gefunden hat muss ein Extremwert dazwischen sein,  also ist c) falsch !  ln(1)=0

d) ist richtig,

e) die Steigung der Geraden die durch P und (a,f(a)) geht muss f'(a) sein! also

(f(a)-3)/(a-0)=f'(a) zur Kontrolle: a=3

(wenn du übst mit alten Aufgaben, solltest du dir zur Kontrolle die Funktion von einem Programm plotten lassen! Dein falsches c hättest du selbt gemerkt, vielleicht auch den Weg zu e) gesehen)

Gruß lul

Comments

Bei c) kann man aber so nicht argumentieren, da es ja eigentlich nur eine Nullstelle gibt. Wegen der Eigenschaften der Logarithmusfunktion kann man \(x=1\) aber leicht als Nullstelle der ersten Ableitung mit (+/−)-Vorzeichenwechsel identifizieren.