Rekonstruktion. Quadratische Parabel schneidet y-Achse bei -1 und nimmt Minimum bei x=4 an…

Question

Quadratische Parabel schneidet y-Achse bei -1 und nimmt Minimum bei x=4 an. Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;1] ein Flächenstück zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt 12 beträgt. Um welche Kurve handelt es sich?

Ich habe die Bedingungen

f(0)=-1

f‘(4)=0

.....

Wie mache ich nun weiter?

\( f(x)=a x^{2}+b x+c  \quad f^{\prime}(x)=2 a x+b \)
\( f(0)=-1 \)
\( f^{\prime}(4)=0 \)
\( \int \limits_{0}^{1} f(x) d x=12 \)

Comments

Bei der dritten Gleichung musst du INTEGRAL " = - 12 " schreiben.

Answer 1

du musst jetzt aus diesen Bedingungen Gleichungen bauen.

Ansatz:

$$ f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c\\f(0)=-1=c $$

$$ f'(x)=2\cdot a\cdot x+b\\f'(4)=0=8\cdot a+b $$

$$ \int_0^1 (a\cdot x^2+b\cdot x-1) \ dx=\Big[\frac{1}{3}\cdot a\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot b\cdot x^2-x\Big]_0^1=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 1^3+\frac{1}{2}\cdot b\cdot 1^2-1\\=\frac{1}{3}\cdot a+\frac{1}{2}\cdot b-1=-12,  $$

da du dich im 4. Quadranten, also ,,unten" befindest. Damit berechnest du jetzt nur noch a und b, weil du c=-1 ja schon kennst.

Answer 2

f(0)=-1 ==>  c=-1

f ' (4)=0 ==>   8a+b=0 ==>   b = -8a

 | Integral von 0 bis 1 über  ax^2 -8ax -1 dx |  = 12 

              |  -11a/3   - 1 | =  12

         -11a -3 = 36     oder    -11a  - 3  =  -36

   -11a  = 39     oder    -11a  =  -33

Wegen des Minimums muss a>0 gelten, also  a=3

==>  b=-24     also f(x)  = 3x^2  -24x  -1