Zwei Vektoren R^{3} sind windschief - Wie erkenne ich das?

Question

Aufgabe:

Gegeben sind zwei Vektoren. Man ermittle den Schnittpunkt sofern einer existiert. 

g: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\6 \end{pmatrix} \) + s*\( \begin{pmatrix} 3\\4\\-1 \end{pmatrix} \)

h: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) + t*\( \begin{pmatrix} 0\\-3\\2 \end{pmatrix} \)

Ich erhalte folgendes:

i)    3s = 1 
ii)   4s = 1 - 3t
iii)  6 - 1s = 1 + 2t

aus i) folgt,

s = 1/3

Wenn ich das s = 1/3 in ii) einsetze, erhalte ich

t = -1/9


Problem:

Hab ich das Gleichungssystem korrekt aufgestellt und gerechnet oder muss ich noch die ii) mit der iii) eliminieren?
Was sagt mir das s und was sagt mir das t?
Heisst das, ich muss die Gerade g: mit s = 1/3 stauchen und die Gerade h mit t = -1/9 stauchen um zum Schnittpunkt zu gelangen, oder? 

Wenn obige Überlegungen wahr sind,  lassen sich so die jeweiligen Komponenten de Schnittpunktes berechnen. 

Also zum Beispiel für g:

x = 1/3 * 3 = 1
y = 1/3 * 4 = 4/3
z = 6 + 1/3 * (-1) = 18/3 - 1/3 = 17/3

\( S = \begin{pmatrix} 1\\4/3\\17/3 \end{pmatrix} \)

Weil der Komponenten des Schnittpunkts auch für h gelten, kann ich sagen dass: 

1 = 1 + (-1/9)*0 
4/3 =  1 + (-1/9)*(-3)

17/3 ≠ 1 + (-1/9)*2 Falsch!

Meine Frage:
Also ein gemeinsames Vielfaches der Richtungsvektoren existiert auch nicht: g und h sind zueinander nicht-parallel.

Dann müssen also diese Geraden windschief zueinander sein. 
Und die Komponenten von oben des Schnittpunktes S existiert also nicht!
Richtig?

Answer 1

dein LGS stimmt. Bei der Untersuchung der Lagebeziehung von Geraden geht man so vor.

1.) Sind die Richtungsvektoren kollinear?

      Ja: Geraden sind parallel.

             1.1.) Liegen alle Punkte der einen Geraden auch in der anderen?

                       Nimm dafür einen Punkt der einen Gerade und mache eine                                       Punktprobe bei der anderen. Dann kann folgendes passieren:

                      Er liegt drauf: Geraden sind identisch

                      Er liegt nicht drauf: Geraden sind echt parallel.

      Nein: Geraden sind nicht parallel

                1.2.) Beide Geraden gleichsetzen und LGS lösen:

                          LGS hat eindeutige Lösung: Geraden schneiden sich.

                          LGS hat keine eindeutige Lösung: Geraden schneiden sich nicht,                                                                                           also windschief.

Und hier sind sie windschief, da das LGS nicht eindeutig lösbar ist.

Comments

Super, vielen vielen Dank  !