Vektoren Verhältnis linear unabhängig

Question

Gegeben sind drei Punkte 0(Ursprung ) A und B .Die zugehörigen Vektoren a=OA und b=OB sind linear Unabhängig. Der Vektor c= Oc ist gegeben durch c = 3/4 b -1/4 a.  

a) Es sei S der Schnittpunkt der Diagonalen OB und CA im Viereck OABC . In welchem Verhältnis teilt S die Diagonale (Teilergebnis OB im Verhältnis 3:2 )

b) Die Geraden gOC und gAB schneiden sich in D Zeigen sie mit Hilfe einer geschlossenen Vektorkette, dass für den Vektor d= OD gilt d= 2c. Die Gerade gOS schneidet die Strecke CB in T in welchem Verhältnis teilt T diese Strecke ?

Benutzen sie dazu die bisherigen Zwischenergebnisse 

Answer 1

Wohl eher so:

Und dann   OS = s = x*b

und   s   =  a+ y*AC = a+y*(c-a) = a+y*( 3/4 b -1/4 a-a)

Gleichsetzen und nach a und b sortieren

   xb = a+y*( 3/4 b -1/4 a-a) = a +3y/4 * b - 5y/4 * a

  0 = (3y/4  -  x)*b   + ( 1  - 5y/4 ) * a

==>    3y/4 - x = 0   und  1 - 5y/4  = 0

                                           1 =  5y/4

                                          4/5 = y

            3/5 - x = 0

                  x = 3/5

Also ist es von 0 nach S 3/5 der Strecke von 0 nach B.

Das Stück von S nach B also 2/5 und damit teilt S die Strecke 0B

im Verhältnis 3:2 ( wie angekündigt) und S teilt die Diagonale AC

im Verhältnis 4 : 1  (   wegen 4/5 und 1/5 ).

Answer 2

a) um den Schnittpunkt \(S\) zu berechnen, stelle die beiden Geradengleichungen auf und setzte sie gleich: $$\begin{aligned} g_{OB}: \space \vec{x} &= r \cdot \vec{OB} = r \cdot \vec{b} \\ g_{AC}: \space \vec{x} &= \vec{a} + s \cdot \left( \vec{c} - \vec{a} \right) = \vec{a} + s \cdot \left( \frac34\vec{b} - \frac14 \vec{a} - \vec{a} \right) \\ &= \vec{a} + s \cdot \left( \frac34\vec{b} - \frac54 \vec{a} \right) \end{aligned}$$ Gleichsetzen um  \(S\) zu berechnen: $$r \cdot \vec{b} = \vec{a} + s \cdot \left( \frac34\vec{b} - \frac54 \vec{a} \right)$$ Jetzt \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) isolieren: $$\left( \frac54 s - 1\right) \vec{a} + \left( r - \frac34 s\right) \vec{b} = \vec{0}$$ Die Faktoren vor den Vektoren müssen 0 sein, um die Gleichung in jedem Fall zu erfüllen. Daraus folgt: $$s=\frac45; \quad r=\frac35$$ $$\Rightarrow  \vec{S} = \frac35 \vec{b} \quad \Rightarrow |OS| \div |SB| = 3 \div (5-3) = 3 \div 2$$

b) das gleiche Vorgehen. Wieder zwei Geraden aufstellen $$g_{OC}: \space \vec{x} = r \cdot \vec{OC} = r \left( \frac34 \vec{b} - \frac14 \vec{a}\right)$$ $$g_{AB}: \space \vec{x} = \vec{a} + s (\vec{b} - \vec{a})$$ daraus folgt \(r=2\) und damit ist \(\vec{D} = 2 \vec{OC}\) und \(C\) ist somit der Mittelpunkt von \(OD\).

Die Gerade gOS schneidet die Strecke CB in T in welchem Verhältnis teilt T diese Strecke ? 

Die Gerade \(g_{OS}\) schneidet \(g_{CB}\) in \(B\)! ist die Aufgabestellung so richtig?

Gruß Werner