Wie löse ich eine Aufgabe mit Abhängigkeit von a?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Anzahl der Schnittpunkte des Graphen von \( \mathrm{f} \) mit der Geraden mit der
Gleichung \( y= \) in Abhăngigkeit von a.

a) \( f(x)=3 x^{4}-6 x^{2}+2 \)

b) \( f(x)=3 x \cdot e^{-x} \)

c) \( f(x)=\sin (2 x-1)+12 ; x \in[-4 ; 4] \)

Wie löse ich die Aufgabe a? Darf ich für die Gerade y = a , also für das a eine beliebige Zahl eingeben z.B. 1?

Answer 1

\(3x^4-6x^2+2=a\Rightarrow 3x^4-6x^2+2-a=0\)

Substitution \(u=x^2\)

\(\Rightarrow 3u^2-6u+2-a=0\Rightarrow u^2-2u+\frac{2}{3}-\frac{a}{3}=0\)

Lösen mit pq-Formel: \(u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{2}{3}+\frac{a}{3}}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{19}{12}+\frac{a}{3}}.\)

Rücksubstitution:

\(u_1=\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{19}{12}+\frac{a}{3}}=x_{1,2}^2\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{19}{12}+\frac{a}{3}}}.\)

\(u_2=\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{19}{12}+\frac{a}{3}}=x_{3,4}^2\Rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt{\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{19}{12}+\frac{a}{3}}}.\)

Comments

Oh, ich sehe gerade, dass ich nach der dritten Zeile einen Fehler gemacht habe. Also nochmal:

Lösen mit pq-Formel: \(u_{1,2}=1\pm\sqrt{1-\frac{2}{3}+\frac{a}{3}}=1\pm\sqrt{\frac{1+a}{3}}\)

Rücksubstitution:

\(u_1=1-\sqrt{\frac{1+a}{3}}=x_{1,2}^2\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{1-\sqrt{\frac{1+a}{3}}}\)

\(u_2=1-\sqrt{\frac{1+a}{3}}=x_{3,4}^2\Rightarrow x_{3,4}=\pm\sqrt{1+\sqrt{\frac{1+a}{3}}}\)

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Hi Nick, 

warum steht dort

"Lösen mit pq-Formel: u_1,2 = 3/2 ± ..."

Muss es nicht heißen: u_1,2 = 1 ± ..."

Denn Du bist ja ausgegangen von u² - 2u + 2/3 - a/3 = 0

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Noch ein kleiner Fehler in der Korrektur, letzte Zeile.

Dort muss es natürlich  heißen:

1 plus √ ( ( 1 + a ) / 3 )

So hast du es ja dann auch bei der Rücksubstitution verwendet, also handelt es sich wohl lediglich um einen Copy&Paste-Fehler.

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Ja, du hast Recht. Ich sollte mal etwas aufmerksamer sein beim Schreiben. :-)

Answer 2

 

 

nein, einfach eine beliebige Zahl eingeben geht nicht, weil Du ja eine allgemeine Lösung finden sollst. 

Um Schnittpunkte zu finden, musst Du gleichsetzen: 

f(x) = y, also

3x⁴ - 6x² + 2 = a | -a

3x⁴ - 6x² + 2 - a = 0 | Substitution: x² = z

3z² - 6z + 2 - a = 0 | : 3

z² - 2z + 2/3 - a/3 = 0 | p-q-Formel

z_1,2 = 1 ± √(1 - 2/3 + a/3)

Dann muss rücksubstituiert werden, wie von 10001000Nick1vorgerechnet.

 

Besten Gruß