Mathematik Funktionenschar. f_(a)(x) = 1/4 x^2 - ax + 7/16 a^2, a ≥ 0.

Question

Hallo hoffe man kann das Bild erkennen. Jedenfalls habe ich ein Problem mit dieser Aufgabe( sonst würde ich sie ja nicht reinstellen hehe)

Die a) habe ich glaube ich richtig, da sollte für die Nullstellen x= 1/2a und x=7/2a herauskommen (ich bitte um Korrektur falls dem nicht so sein sollte).

Bei der Extrema bin ich mir unsicher habe da einen TP aber da ich es nicht gebacken bekomme mein erhaltenes x (durch die erste Ableitung) in die normale Funktion einzusetzen um meinen y-wert herauszubekommen, sitze ich fest. Im übrigen bin ich bei den anderen Nummern total auf dem Schlauch und schon seit Tagen am verzweifeln.

Ich erhoffe mir einfach einen Lösungsweg den ich verstehen kann damit ich es selbst nochmals üben kann.

(hoffe das Bild ist da...)

Funktionenschar. f_(a)(x) = 1/4 x^2 - ax + 7/16 a^2, a ≥ 0.  

Answer 1

deine Nullstellen stimmen :) , sowie, dass es sich beim Extrema um einen Tiefpunkt handelt. Die Extremstelle, was $$ x_E=2a $$ ist musst du wie man es gewohnt ist in die Ausgangsfunktion einsetzen. Ist ein bisschen Rechnen, aber geht klar.

Zu b) Nimm dir jeweils einen klar erkennbaren Punkt aus der Zeichnung, welcher (logischerweise) auf dem Graphen liegt. Du setzt die y- und die x-Koordinate in deine Ausgangsfunktion ein und löst die dabei entstandene Gleichung nach a auf.

Zu c) Hier hast du zwei Möglichkeiten. Entweder sind es -45°(entspricht m=-1) oder +45°(entspricht m=1) Steigung an der y-Achse. Das musst du beides prüfen, indem du diese mit der ersten Ableitung gleichsetzt und schaust, ob ein a≥0 gefunden werden kann.

Zu d.) f_1 bedeutet, dass a=1 verwendet wird. Dann die Fläche zwischen Graphen und x-Achse bestimmen.

Comments

wie bereits gestern erwähnt meine Ergebnisse:

Bei dem TP habe ich (2a/-9/16a^2) herausbekommen. :/ bin mir aber unsicher.

Bei der b) habe ich für u (5/6) eingesetzt und als a = 11,38 und a= 0,05

Für v habe ich (8/2) eingesetzt und als a =16,33 und a=1,96 herausbekommen.

Für w habe ich (0/4) eingesetzt und als a =3,02 und a= -3,02 (a ist aber >=0)

Ich persönlich glaube ich habe wiedermal falsch gerechnet.

Bei der C kam ich nicht so zurecht da ich immer noch nicht so ganz verstehe was ich machen soll. Also ich habe die 1=m und soll die mit der 1.Ableitung der Funktion gleichsetzen aber welcher? Ist damit u w und v gemeint?

Und bei der d habe ich vom f1(x) die NST berechnet da kam dann x=0,5 Und x= 3,5 heraus. Dann habe ich den Interval von (0,5;3,5) verwendet und kam auf 9/8 FE. Mit Betragsstrichen. Das kann doch nicht stimmen oder? LG

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wirf nicht gleich die Flinte ins Korn.^^

a) stimmt komplett.

Bei b) hast du dir einen falschen Punkt rausgenommen, denn er liegt nicht auf u. Probier mal den Punkt (8|8) und berechne erneut das a. Die anderen für v und w sehen gut aus. Dabei fällt mir auf, dass die Zeichnung ziemlich ungenau ist, um die Ausgangsfunktion zu nehmen. Besser ist es also, lieber die erste Ableitung zu nehmen, da man gut sehen kann, an welcher Stelle die Steigung 0 ist. Und somit bekommst du auch ein eindeutiges a raus. Also zu u:

$$ f'_a(2)=\frac{1}{2}\cdot 2-a=0 \Leftrightarrow a=1 $$

Bei c) ist der Ansatz $$ f'_a(0)=1 $$oder $$ f'_a(0)=-1. $$Mit diesen beiden Ansätzen löst du nach a auf (nur einer davon wird gehen).

Zu d) stimmt alles. Du hast korrekterweise die Betragsstriche genommen, da dein bestimmtes Integral negativ ist. Und da hier aber die Fläche gemeint ist, nimmt man den Betrag. Er ist deshalb zunächst negativ, da sich die eingeschlossene Fläche unter der x-Achse befindet. Also keine Panik. :)