Ungleichung (x+2)/ (x-3) < x/ (x+2) Lösungsmenge bestimmen

Question

Bestimmen sie die Lösungsmenge der Ungleichung:

(x+2)/ (x-3) < x/ (x+2)

Answer 1

Hallo bei der Ungleichung hast du zwei kritische Stellen x=2 und x=3, wo ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Es gibt also folgende Fälle:

$$ x-3<0\quad \Leftrightarrow x<3\\x-3>0\quad \Leftrightarrow x>3\\x+2<0\quad \Leftrightarrow x<-2\\x+2>0\quad \Leftrightarrow x>-2 $$ Dafür betrachtest du folgenden Zahlenstrahl:

Daran erkennst du, dass man drei Fälle betrachten muss:

$$ (1)\quad x<-2\\(2)\quad -2<x<3\\(3)\quad 3<x $$

Führe mal (1) vor, da der Rest analog geht:

$$ (1)\quad x<-2\\[20pt]\\\frac{x+2}{x-3}<\frac{x}{x+2}\stackrel{(*)}{\Longleftrightarrow}(x+2)^2<x(x-3) \Longleftrightarrow 4x+4<-3x\Leftrightarrow x<-\frac{4}{7}$$

Von dieser Lösung und der Anfangsbedingung (1) bildest du eine Schnittmenge, die dann die erste Teillösungsmenge ergibt:

$$ \mathbb{L_1}=\{x\in \mathbb{R}: x<-2\} $$

(*) Wegen x<-2 haben beide Nenner dasselbe Vorzeichen, weshalb sich das Ungleichheitszeichen nicht umdreht, denn Minus mal Minus ist Plus. Bei den beiden anderen sind sie unterschiedlich, weshalb sich dort beim Multiplizieren das Ungleichheitszeichen umdreht.

Answer 2

Wir haben die Ungleichung $$\frac{x+2}{x-3}<\frac{x}{x+2}$$ Die Nenner müssen ungleich Null sein, also muss $$x\neq 3 \ \text{ und } \ x\neq -2$$ gelten. Der Definitionsbereich ist dementsprechend: $$D=\mathbb{R}\setminus \{-2, \ 3\}$$ 
Wir haben folgendes: $$\frac{x+2}{x-3}<\frac{x}{x+2} \Rightarrow \frac{x+2}{x-3}-\frac{x}{x+2}<0$$ Wir machen die zwei Brüche gleichnamig: $$\frac{x+2}{x-3}-\frac{x}{x+2}<0 \Rightarrow \frac{(x+2)(x+2)}{(x-3)(x+2)}-\frac{x(x-3)}{(x+2)(x-3)}<0 \\ \Rightarrow \frac{(x+2)^2-x(x-3)}{(x-3)(x+2)}<0\Rightarrow \frac{x^2+4x+4-x^2+3x}{(x-3)(x+2)}<0 \\ \Rightarrow \frac{7x+4}{(x-3)(x+2)}<0$$ Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler gleich Null ist. $$7x+4=0 \Rightarrow 7x=-4 \Rightarrow x=-\frac{4}{7}$$

Die Intervallgrenzen ergeben sich aus den Definitionslücke (-2 und 3) und der Nullstellen (-4/7). 

	(-∞ ; -2)	(-2 ; -4/7)	(-4/7 ; 3)	(3 ; ∞)
Zähler	-	-	+	+
Nenner	+	-	-	+
Gesamt	-	+	-	+

In der letzten Reihe der Tabelle können wir ablesen, in welchen Intervallen der Term kleiner als Null ist. Die Lösungsmenge ist also $$L=\left(-\infty ; -2\right)\cup \left(-\frac{4}{7} ; 3\right)$$

Answer 3

Hallo

 1. x=3 und x=-2 ausnehmen.

 dann Fallunterscheidung:

1. x>3 dann sind beide Nenner positiv, also mit beiden multiplizieren,  ungleichzeichen bleibt

2.-2<x<3 die 2 Nenner haben verschiedene Vorzeichen beim multiplizieren mit beiden dreht sich Vorzeichen um

3.x<-2, beide Nenner negativ, beim Multipliziert. mit beiden dreht sich Ungleichheitszeichen nicht um.

Gruß lul