Injektiv, surjektiv und bijektiv. Streng monoton wachsende Funktion. Warum surjektiv?

Question

f : R --> R : f(x) = 2 x^3 + x diese Funktion ist streng monoton wachsend daraus folgt dass sie injektiv ist.

Meine Frage ist, warum f Surjektiv ist, insbesondere warum f(R) = R ??

Answer 1

dein f ist hier surjektiv, weil es für jedes y∈ℝ ein x∈ℝ, sodass y=f(x) erfüllt ist. Das wird auch dadurch bestätigt, dass dein f auf ganz ℝ streng monoton wachsend ist.

Daher gilt auch f(ℝ)=ℝ.

Comments

x↦2^x ist auch streng monoton, aber nicht surjektiv.

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Ich sage nicht, dass die strenge Monotonie der Hauptgrund für die Surjektivität ist, sondern nur ein zusätzliches Indiz ist. Ok, vielleicht hätte ich noch sagen sollen, wie sich f für große positive, bzw. negative x verhält.

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Danke sehr, habs keppiert :)

Answer 2

Die Funktion ist surjektiv, weil sie folgende drei Eigenschaften hat:

1. lim_x→∞ f(x) = ∞
   
2. lim_x→-∞ f(x) = -∞
   
3. f ist stetig
   

Das folgt aus dem Zwischenwertsatz.