schwere Integrale bestimmen

Question

servus ,

Bei folgenden Integrale bin ich mir nicht ganz sicher und bräuchte euro Hilfe , bzw. Lösung

1) $$ \int_{}^{} $$ sinh(x)e^x dx

2) $$ \int_{}^{} $$ 1/(2x^2+2x+5) dx

kann man das erste integral ohne substitution bestimmen ? also mit partieller Integration ( UV') wenn ja würde ich mich auf eine Lösung auf dieser Weise freuen .

Danke

Answer 1

∫ e^x·SINH(x) dx
= ∫ e^x·(0.5·e^x - 0.5·e^{-x}) dx
= ∫ (0.5·e^{2·x} - 0.5) dx
= 0.25·e^{2·x} - 0.5·x + C

Comments

∫ 1/(2·x^2 + 2·x + 5) dx
= ∫ 1/(2·(x^2 + x + 1/4 - 1/4) + 5) dx
= ∫ 1/(2·(x + 1/2)^2 + 9/2) dx
= ∫ (2/9)/(4/9·(x + 1/2)^2 + 1) dx
= ∫ (2/9)/((2/3·x + 1/3)^2 + 1) dx

Substitution
z = 2/3·x + 1/3
dz = 2/3 dx
dx = 3/2 dz

= ∫ (2/9)/((z)^2 + 1)·3/2 dz
= ∫ (1/3)/((z)^2 + 1) dz
= 1/3·∫ 1/((z)^2 + 1) dz
= 1/3·ARCTAN(z) + C

Resubstitution

= 1/3·ARCTAN(2/3·x + 1/3) + C

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Hi mathecoach

ich bin nicht der Frager aber ich habe versucht das erste Integral durch partielle Integration zu bestimmen und es hat irgendwie nicht geklappt ! klappt es wirklich nicht oder habe ich mich verrechnet und wenn es bei der partiellen Integration nicht klappt , warum denn ? Danke

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Partielle Integration ist hier schwierig. Denn man bekommt kein einfacheres Integral und auch keinen Phönix.

Wenn eine Methode nicht so gelingt, wie man es sich vorstellt muss man eine andere Methode probieren. Letztendlich gibt es dann auch Funktionen, die man einfach nicht algebraisch integrieren kann.

Dann ist man aufgeschmissen.

Bestimmte Integrale könnte man dann aber immerhin numerisch integrieren.

Answer 2

1) Ersetze vor dem Integrieren:

sinh(x)= 1/2(e^x -e^{-x}) , dann ausmultiplizieren ,dann  wird es sehr einfach.

=1/2 ∫ (e^{2x} -1) dx

2)  Hier mußt Du über die quadratische Ergänzung gehen.

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Die anderen haben schon geantwortet .

wenn du sinh(x) in 1 erst umschreibst wäre es viel einfacher . mit der partiellen Integration habe ich versucht ich komme auf was ähnliches aber nicht auf das richtige Ergebnis und da bin ich mir nicht sicher warum ! wahrscheinlich können dir die anderen besser antworten