Wie integriere ich eine Logarithmus Funktion?

Question

Ich habe ein paar Experimente mit Ableitungsfunktionen gemacht.

Für Exponentialfunktionen kann man ja schreiben

f(x) = a^x

f‘(x)  = a^x * In(a)

Für Integration :

∫ a^x dx = a^x * 1/In(a) 

Für Logarithmus mithilfe vom Basiswechsel und Quotientenregel :

f(x) = log_a(x)

f‘(x) = 1/In(a) * x

Jetzt ist das Problem das ich die Integration nicht hinbekommen. Ich komme auf :

∫ log_a(x) dx = (In(x) * x - x)/(In(a)) 

Nur stimmt diese Formel leider nicht. Für z.b log_2(2x) klappt das nicht. Ich komme dann auf :

( In(2x) * 2x - 2x)/(In(2)) + C

Das stimmt aber nicht. Weiß jemand weiter?

Danke.

Answer 1

beachte die Umkehrung der inneren Ableitung, wenn Du das Argument (2x) hast ;).

Um Deine "Formel" dennoch anzuwenden schreibe log(2x) = log(2) + log(x). Der erste Teil ist ja konstant. Auf den letzten Teil Deine "Formel" anwenden.

Alternativ Deine Formel auf log_{a}(bx) erweitern ;) (Ersteres dürfte aber ausreichend und einfacher sein).

Grüße

Comments

Danke aber bei log_2(3x) komme ich auf

1/In(2)*x , aber beim Integrieren kommt In(x)/In(2) raus also log_2(x) Wo ist die drei geblieben ?

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Ich weiß nicht genau, was Du gemacht hast, aber ich hätte diesen Ansatz gewählt:

log_{2}(3x) = log_{2}(3) + log_{2}(x)

Wenn man das intergriert hast Du im ersten Summanden log_{2}(3)x. Für den letzten wieder Deine Formel verwenden. Da kommt dann die 3 ins Spiel ;).

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Meine Rechnung:

f(x) = log_2(3x)

f‘(x) = 1/In(2)*x

∫ 1/In(2)*x dx

1/In(2) ∫ 1/x dx

In(x)/In(2) + C => log_2(x) ≠ log_2(3x)

Wo liegt der Fehler ? Warum kommt nicht log_2(3x) raus?

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Das steckt im C drin ;).

f(x) = log_{2}(3x) = log_{2}(3) + log_{2}(x)

Wenn Du nun f'(x) = 1/(ln(2)*x) bestimmst erhältst Du ein F(x) mit

F_{1}(x) = ln(x)/ln(2) + C = log_{2}(x) + C

Mit C = log_{2}(3) haben wir F_{1}(x) = f(x)

Ok? ;)

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Vielen Dank jetzt wird alles klarer, ok dann ist das Anwenden der Logarithmus Gesetze vielleicht doch nicht so unnötig.

Noch eine kleine Frage, die ich als zu trivial finde das ich sie als extra Frage stellen sollte.

f(x) = u * v * m

f‘(x) = (u*v)‘ * m + (u*v) * m‘

= u‘ * v + u * v‘ * m + u * v * m‘

Wo liegt mein Fehler? Wo ist das m geblieben? Danke.

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Sehr gut. Und nein, die sind nie unnötig .

Da wurde das m wohl nur vergessen :).

Answer 2

falls Du das meinst: z.B.

∫ ln(x) dx ->siehe hier: (partielle Integration)

https://www.youtube.com/watch?v=wCBFxwEIw6s

Comments

Leider nein, ich habe schon 1/x integriert. Es geht drum das meine Integrationsformel für Logarithmen nicht funktioniert.

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dann schreib doch mal eine konkrete Aufgabe,

damit man genau weiss , worum es geht.

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Ich suche das Integral von :

∫ log_a(x) dx

Meine Lösung:

(In(x) * x - x)/(In(a)) 

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meine Berechnung:

-----------------------------------

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Danke aber genau das hatte ich auch, aber für f(x) = log_2(2x) funktioniert die Formel nicht.

( Ich verzichte auf das Anwenden der Logarithmus Gesetze.)

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∫ log_2(3x) dx= ∫ ln(3x)/ln(2) dx= 1/(ln(2)) ∫ ln(3x) dx

= 1/(ln(2)) * x(ln(3x) -1)) +C

Answer 3

Hallo MathLove,

 (Integrationskonstanten = 0)

∫ f(x) dx = F(x)   →   ∫ f(mx+n) dx = 1/m · F(mx+n)

      wegen  [ 1/m · F(mx+n) ] '  = 1/m · f(mx+n) · m  (Kettenregel)  

∫ log_a(x) dx = (In(x) * x - x)/(In(a))  

für lineare Argumente  u = mx+n   des log kannst du  diese Formel also "retten":

∫ log_a(u) dx  = 1/m · ( (In(u) * u - u)/(In(a)) )

Das funktioniert aber nur, weil die Ableitung des linearen Terms u konstant ist.

Gruß Wolfgang