bei solchen Zahlen hast Du keine reelle Chance zu zeigen, dass es sich um eine Primzahl handelt. Zum Vergleich: die größte bekannte Mersenne-Primzahl ist z.Zt.: \(2^{77.232.917}-1\). Und die Zahl aus der Aufgabe ist sehr viel größer.
Also liegt der Verdacht nahe, dass es sich um keine Primzahl handelt und man eine Teilbarkeit durch einen kleinen Teiler nachweisen kann.
Die obige Zahl \(z\) hat die Form $$z = 2 ^n + 1; \quad n \in \mathbb{N}$$ wobei \(n\) sicher durch 3 teilbar ist und ungerade ist. Man könnte also auch schreiben: $$z = 2^{3 (2k-1)} + 1 = 8^{2k+1}+1; \quad k \in \mathbb{N}$$
Betrachtet man nun den Rest beim Teilen von Potenzen von 8 durch 3, so ergibt sich ein Muster: $$\begin{aligned} 8^1 &= 2 \cdot 3 + 2 \\ 8^2 &= 21 \cdot 3 + 1 \\ 8^3 &= 170 \cdot 3 + 2 \\ 8^4 &= 1365 \cdot 3 + 1\end{aligned}$$ Der Rest nach dem Teilen durch 3 ist also immer 2 bei ungeraden Exponenten. Es gilt also offensichtlich, dass
$$ 8^{2k+1} \equiv 2 \mod 3 \quad \Rightarrow 8^{2k+1} + 1\equiv 0 \mod 3$$ Daraus folgt, dass \(z\) durch 3 teilbar und somit keine Primzahl ist.
Gruß Werner
