Frage zu Potenzen Komplexer Zahlen

Question

kann mir jemand erklären was z^0 für ein Ergebnis liefert und wieso? Ich glaube das Ergebnis soll z sein aber wieso ist mir nicht klar.

Ich danke jeden schonmal für seine Hilfe.

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Wie lautet die genaue Aufgabe?

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Also die Aufgabe lautet:

I.A.: n=0 dann ist also 1+z^0 und wie es ausschaut ist das 1+z

Answer 1

Was ist denn z⁰ in den reellen Zahlen? Wenn wir in den komplexen Zahlen (wenigstens ganzzahlige) Potenzgesetze zulassen, dann funktioniert der selbe Trick in den komplexen Zahlen. Vorweg: Dass 0⁰ in den komplexen Zahlen nicht definiert werden kann, sollte klar sein. Wenn jetzt z ≠ 0 eine komplexe Zahl ist, dann kannst du mit den Potenzgesetzen folgern:

$$z = z^1 = z^{1+0} = z^1\cdot z^0 = z\cdot z^0 \implies z^0 = 1$$

Dieser Trick funktioniert genau dann, wenn du die Potenzgesetze mit ganzen Zahlen im Exponenten anwenden kannst - und in den komplexen Zahlen darfst du das genau dann, wenn du z⁰ als 1 definierst. Und genau das ist es auch, eine Definition, jedoch die, die am meisten Sinn ergibt.

LG

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Eigentlich total einleuchtend was du sagst. So hab ich es auch mir gedacht. Ich rechne nur als Vorbereitung gerade Alt-Klausuren durch und da ist diese Lösung drin zur oben von mir angegebenen Aufgabe:

Hier ist also z^0 = z oder hab ich was übersehen?

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Aufpassen! Du hast:

$$z^{(2^0)} = z^1 = z.$$

Da wendest du dieses Gesetz oben im Exponenten an, nicht unten!

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Oh man ja klar. Super vielen Dank! Hast mir sehr geholfen. Manchmal hab ich doch wirklich ein Brett vor dem Kopf.

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Ich kenn das, 95% der Mathematik ist Brett-vorm-Kopf-haben und die restlichen 5% ist sich freuen, dass man es endlich kapiert hat ;)

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Haha, ja exakt so fühl ich mich. Danke, das macht Mut, zu hören, dass es nicht nur mir so geht ;).

Answer 2

Falls z ungleich 0 ist, gilt auch bei komplexen Zahlen  z^0=1

Das merkst du spätestens dann, wenn du z in trigonometrischer Form darstellst.

Der Betrag von z^0 wird 1 und das Argument wird 0.

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Kannst du mir erklären wie man darauf kommt, das dann der Betrag 1 und das Argument 0 ist. Weil ich kann mir gar nicht vorstellen wie ich (x+iy)^0 ausmultipliziere.

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Er spielt auf die Euler-formel an:

$$e^{r + i\cdot\varphi} = e^r\cdot(\cos{\varphi} + i\cdot\sin{\varphi})$$

Daraus kann man folgern, dass bei n-facher Potenzierung der Betrag n-fach Potenziert wird, das Argument ver-n-facht wird (das Argument ist der Winkel zwischen der komplexen Zahl und der x-Achse, wenn man komplexe Zahlen als 2-Vektoren betrachtet). Dann weißt du, dass bei z⁰ der Betrag mit 0 potenziert wird (um zu wissen, dass das 1 ist, brauchst du die Aussage für die reellen Zahlen). Das Argument wird ver-0-facht, der Vektor liegt also mit Betrag 1 auf der x-Achse und muss also die "reelle" Zahl 1+0i sein.

Das Problem damit: Damit die Euler-formel gilt, muss man bereits Potenzierung vollständig definiert haben. Dann hat man aber bereits z⁰ = 1 definiert, es dient also als Argument, warum diese Definition sinn ergibt.

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Wieder super erklärt. Vielen lieben Dank.