Nullstellen einer ganzrationalen Funktion

Question

Es ist folgende Funktion gegeben:

$${f}_{k}(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}kx^{2}+kx$$

Gesucht ist das k, für das die Funktion zwei Nullstellen hat.

Answer 1

Hi,

um das zu Untersuchen, würde ich erst einmal umformen:

$$f(x) = \frac13x^3 - \frac12kx^2+kx$$

$$f(x) = \frac13x\left(x^2-\frac32kx+3k\right)$$

Nun sieht man, dass man eine Nullstelle hat, wenn x₃ = 0 ist. Unabhängig von k. Um genau zwei Nullstellen zu haben, muss also der hintere Teil eine doppelte Nullstelle sein, oder eine der beiden übrigen Nullstellen muss x = 0 sein und die andere beliebig.

Untersuchen wir ersteres (zwei identische Nullstellen):

Dazu muss in der Klammer eine doppelte Nullstelle gefunden werden. pq-Formel:

$$x_{1,2} = -\frac{3k}{4}\pm\sqrt{3(3k^2-16k)} \quad (Ia)$$

Doppelte Nullstelle erhalten wir, wenn wir \(\pm\) unwirksam machen, den Summanden danach also 0 setzen. Das ist für \(k = 0\) und \(k = \frac{16}{3}\) der Fall.

Wenn wir nun im letzten Faktor keine doppelte Nullstelle haben wollen, sondern eine Nullstelle soll x = 0 und die andere soll beliebig sein. Finden wir in (Ia), dass k = 0 die einzige Lösung ist. Dies ist aber eine doppelte Nullstelle und mit x₃ sogar eine dreifache (was wir nicht brauchen)

--> Gesuchtes k ist k = 16/3

Grüße

Answer 2

x/3 ausklammern:

x/3(x²-3kx/2+3k)

Ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist, also

x=0 oder x²-3kx/2+3k=0

Quadratische Gleichung mit pq-Formel lösen.

Answer 3

Berstimme die Lösungen der Gleichung

        1/3 x³ -1/2 kx² +kx = 0

für x in Abhängigkeit von k.

Wähle k so, dass zwei der drei Lösungen identisch sind.