Anwendung der Bahnformel mit (Z,+) und Beispiel für Isotropiegruppe

Question

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter

Sei G eine Gruppe und X eine (linke) G-Menge, *:GxX→ X

a) Nehmen Sie an, dass G=(Z,+) ist. Sei x∈ X und G_x  die Isotropiegruppe von x. Zeigen Sie, dass G*x unendlich ist genau dann, wenn G_x  ={0} ist.

b) Geben Sie ein Beispiel einer Gruppe G, eine transitive (linke) G-Menge X und Elemente x,y∈ X an, sodass die Isotropiegruppen G_x und G_y unterschiedlich sind. (Hinweis: G darf nicht abelsch sein.)

Ich vermute, dass bei a) die Ordnung gemeint ist. Somit wäre die Rückrichtung trivial, denn die Ordnung von {0} wäre 1 und es folgt, dass G*x unendlich viele Elemente hat (mit Hilfe der Bahnformel und da Z die Ordnung unendlich hat)

Bei der anderen Richtung komme ich nicht darauf, wie ich es Formal gut zeigen kann. An sich ist es offensichtlich, da G_x := {g∈G | g+x=x} für (Z,+) nur von dem neutralen Element Null gelöst werden kann.

Bei b) habe ich leider keinen Ansatz.

Ich bedanke mich im Voraus für Antworten. (Dies ist mein erster Beitrag, deshalb weiß ich nicht wie man vernüftig Formeln einfügt)