Quotienten so weit wie möglich kürzen

Question

Aufgabe:

Für jede natürliche Zahl n sei die Zahl \( a_n \) durch

$$ a _ { n } : = \frac { ( n ! ) ^ { 2 } \cdot \sqrt { 8 ^ { 2 n + 1 } } } { ( 2 n ) ! \cdot 6 ^ { n } } $$

definiert. Dabei bedeutet \( ! \) das Fakultätszeichen. Kürzen Sie (für ein allgemeines n) den Quotienten \( \frac{a_n + 1}{a_n} \) so weit wie möglich und geben Sie danach diesen Quotienten jeweils für jedes n aus der Menge {10, 100, 200, 500, 1000, 10000} explizit an.

Ich hab jetzt "an" in den Quotienten eingesetzt und versucht so weit es geht zu kürzen, allerdings komme ich jetzt nicht weiter. Als "Endergebnis erhalte ich

1 + 1 / ((n!)² * (√(8^{2n+1})) / (2n)! * 6^n)

Wenn ich jetzt zum Beispiel die 10 oder 100 aus der Menge einsetzte kommen allerdings keine "schönen" Zahlen raus, weshalb ich glaube, dass es falsch ist. Kann mir jemand vielleicht helfen?

Answer 1

Für das Kürzen des Quotienten musst du folgende Teilaufgaben lösen (zu denen ich deine Mitarbeit erwarte):

Was ergibt

a) $$\frac{((n+1)!)²}{(n!)²}$$

b) $$\frac{\sqrt{8^{2(n+1)+1}}}{\sqrt{8^{2n+1}}}$$

c) $$\frac{(2n)!}{(2(n+1))!}$$

d) $$\frac{6^n}{6^{n+1}}$$

Comments

Ich verstehs echt nicht. :(

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Wenn du sogar die Mitarbeit beim Kürzen des Bruches $$\frac{6^n}{6^{n-1}}$$ verweigerst, brauchst du mit meiner Hilfe bei den schwierigeren Teilaufgaben schon mal nicht mehr zu rechnen.

Heul weiter.

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Ich verweigere nicht, ich weiß es einfach nicht.

Bei deinem Bruch denke ich ist es gekürzt 1/6 oder?

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Ja.

Vielleicht kriegst du das mit der Wurzel aus den Potenzen von 8 auch noch hin.