Antwort mit KI erzeugt
Uneigentliches Integral von \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\)?
Um zu beurteilen, ob das uneigentliche Integral von \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\) im Bereich \(0\) bis \(\infty\) existiert, müssen wir, wie du bereits richtig begonnen hast, das Integral in zwei Teile aufteilen:
1.
Von \(0\) bis \(1\)
2.
Von \(1\) bis \(\infty\)
Für den Bereich von \(0\) bis \(1\):
Die Funktion \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\) ist im Intervall \(0\) bis \(1\) integrierbar. Der Grenzwert \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\), was zeigt, dass sich die Funktion um \(x = 0\) herum verhält, als hätte sie dort den Wert \(1\). Auch wenn \(x = 0\) selbst nicht im Definitionsbereich von \(f(x)\) liegt, da wir den Absolutwert betrachten und der Sinus zwischen \(-1\) und \(1\) variiert, bleibt der Ausdruck im gesamten Intervall integrabel und beschränkt.
Für den Bereich von \(1\) bis \(\infty\):
Um den zweiten Teil von \(1\) bis \(\infty\) zu bewerten, nutzen wir, dass \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| = \frac{|\sin(x)|}{x}\). Da \(\sin(x)\) periodisch ist und zwischen \(-1\) und \(1\) schwankt, betrachten wir das Integral von \(\frac{1}{x}\) als eine obere Schranke für unser Integral.
Betrachten wir das Integral:
\(
I = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx
\)
Dies ist ein bekanntes uneigentliches Integral, das den natürlichen Logarithmus als Stammfunktion hat:
\(
I = \left[\ln|x|\right]_{1}^{\infty} = \lim_{b \to \infty} (\ln|b| - \ln|1|) = \infty
\)
Das Integral divergiert, was bedeutet, dass \(\frac{1}{x}\) unbegrenzt wächst, wenn \(x\) gegen Unendlich geht. Jedoch ist das für die Schätzung der Konvergenz unsere Funktion nicht direkt übertragbar, da wir eine obere Schranke betrachtet haben und nicht die eigentliche Funktion \(\frac{|\sin(x)|}{x}\).
Für unser ursprüngliches Problem benötigen wir eine feinere Analyse:
Die Funktion \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\) schwingt und nimmt mit \(1/x\) ab. Jedes Integral über eine volle Periode von \(|\sin(x)|\) wäre positiv und würde abnehmen, je größer \(x\) wird. Für die Konvergenz der Reihe ist der Schlüssel der Vergleichstest im Kontext der Integralrechnung. Eine geeignete Vergleichsfunktion ist \(1/x^p\), für ein \(p > 1\), denn für diese Funktionen ist bekannt, dass ihr Integral über \(1\) bis \(\infty\) konvergiert. Speziell, wenn wir \(p = 1+\varepsilon\) für ein kleines \(\varepsilon > 0\) wählen, konvergiert das Integral
\(
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} dx
\)
Dies zeigt, dass \(1/x^{1+\varepsilon}\) als eine vergleichende Referenz dient, die beweist, dass unser ursprüngliches Integral von \(\frac{|\sin(x)|}{x}\) vom \(1\) bis \(\infty\) konvergiert, da \(\frac{|\sin(x)|}{x} \leq \frac{1}{x}\) für alle \(x>0\) und speziell \(1/x\) langsamer abnimmt als \(1/x^{1+\varepsilon}\). Somit impliziert der direkte Vergleichstest die Konvergenz von \(\int_{1}^{\infty} \frac{|\sin(x)|}{x} dx\).
Zusammenfassend: Der erste Teil \(0\) bis \(1\) ist offensichtlich integrabel und beschränkt. Für den zweiten Teil \(1\) bis \(\infty\) zeigt die Diskussion und der Vergleichstest, dass das uneigentliche Integral von \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\) im Bereich \(1\) bis \(\infty\) konvergiert. Daher existiert das uneigentliche Integral von \(\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|\) im Bereich von \(0\) bis \(\infty\).
