Aufgabe:
Sei für t ∈ ℝ>0 f(t) = \( \frac{sin(t)}{t} \) gegeben. Führen Sie für b > 1 eine partielle Integration des Integrals
\( \int\limits_{1}^{b} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) dt
durch und zeigen Sie dann durch ein geeignetes Majorantenargument, dass das umeigentliche Integral
\( \int\limits_{1}^{\infty} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) dt existiert.
Problem/Ansatz:
Mittels partieller Integration komme ich auf folgendes Ergebnis:
\( \int\limits_{1}^{b} \) \( \frac{sin(t)}{t} \) dt = \( \frac{-cos(t)}{t} \) - \( \int\limits_{1}^{b} \) \( \frac{cos(t)}{t^2} \) dt
Ist dies schon ausreichend für den ersten Teil? Wie finde ich eine geeignete Majorante? Klar ist, dass der Funktionsgraph Werte zwischen -1 und 1 annimmt für x.
