So einen Ausdruck wie
$$\sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} = \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2$$ schreibt man sich am besten für ein kleines \(n\) - z.B.: \(n=3\) mal hin:
$$\begin{aligned} 1^3 + 2^3 + 3^3 &= (1 + 2 +3)^2 \\ 1 +8 +27 &= 6^2 \\ 36 &= 36\end{aligned} $$ sieht doch ganz ok aus - oder? rechts steht eine Summe, die als ganzes noch mal quadriert wird. Für den Beweis per Induktion fehlt jetzt noch der Induktionsschritt:
$$\begin{aligned}\sum_{k=1}^{n+1} k^3 &= \left( \sum_{k=1}^n k^3 \right) + (n+1)^3 \\ &= \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \left(\sum_{k=1}^{n+1} k \right) - (n+1)\right)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 - 2\left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)(n+1) + (n+1)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 - 2\left(\frac12(n+1)(n+2) \right)(n+1) + (n+1)^2 + (n+1)^3 \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 +(n+1)^2\underbrace{(- (n+2) + 1 + (n+1))}_{=0} \\&= \left( \sum_{k=1}^{n+1} k \right)^2 \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ der 'Trick' besteht hier vielleicht darin, dass man weiß, wo man hin will. Also versuche vorhanden Terme so umzuformen, dass zumindest Teile des gewünschten Ergebnisses schon da stehen. Hier ist es der Schritt von der 2. zur 3. Zeile(s.o.).
zum zweiten Teil: $$\sum_{k=2}^n {k \choose 2} = { n+1 \choose 3}$$ Für \(n=2\) steht dort \(1=1\). Der Induktionsschritt:
$$\begin{aligned} \sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2} &= \left(\sum_{k=2}^n {k \choose 2} \right) + {n+1 \choose 2} \\&= { n+1 \choose 3} + \frac{(n+1)!}{2! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n+1)!}{3! \cdot (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n-1)(n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} + \frac{3(n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n-1+3)\cdot (n+1)!}{3! \cdot (n-1)!} \\&= \frac{(n+2)!}{3! \cdot (n+2-3)!} \\&= {n+2 \choose 3} \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Falls noch Fragen offen sind, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
