Viereck Spiegeln Drehen Verknüpfung

Question

Sei A B C D ein Viereck in R^2 mit A = (1, 1), B = (−1, 1), C = (−1, −1) und D = (1, −1), S die Spiegelung an der y-Achse, und R die Drehung um den Ursprung, gegen den Uhrzeigersinn, um 90 Grad. Zeigen Sie, dass R ◦ S ≠ S ◦ R ist.

Wie kann ich dies am besten zeigen? 

Letztendlich geht es ja nur darum, dass Viereck einzuzeichnen, an der y-Achse zu spiegeln und dann um 90 Grad (in den anderen Quadranten) zu verschieben. Und das ganze dann umgekehrt, also erst das verschieben um 90 Grad und dann das spiegeln an der y-Achse. 

Zeigt man sowas Graphisch am besten? Oder gibt es da einfachere/bessere Methoden, die in der Uni gesehen werden wollen? 

Vielen Dank vorab!

Answer 1

Du kannst es graphisch darstellen, allerdings musst Du die Punkte bzw. die Orientierung des Quadrats hervorheben, da sich das Quadrat selbst auf Grund der Spiegelung und Roation nicht verändert. Eine Verknüpfung \(R \circ S\)  bedeutet, dass zunächst eine Spiegelung und dann eine Rotation ausgeführt wird (\(R \circ S\) von rechts nach links lesen)

Im Fall von \(S \circ R\) wird erst die Rotation ausgeführt, die \(A\) nach oben links bringt und die Spiegelung bringt \(A\) in die Ausangsposition zurück. Ist also nicht das gleiche wie die Abbildung oben.

Du kannst die Abbildung auch mit Hilfe einer Abbildungsmatrix beschreiben. Eine Spiegelung an der Y-Achse entspricht einer Multiplikation mit $$A_S=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ eine Rotation eine Multiplikation mit $$A_R=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ und $$A_{R \circ S} = A_R \cdot A_S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \ne A_{S \circ R} = A_S \cdot A_R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche und hilfreiche Antwort! :)

Answer 2

Den graphischen Nachweis kann man auch mit Worten beschreiben, wobei man auf die Reihenfolge der Bezeichnungen der Punkte eingehen muss.