Warum muss K* in einem Körper definiert werden?

Question

ich frage mich gerade, warum $$K \cdot$$ in einem Körper definiert werden muss. Es heisst ja, dass alles andere mittels mathematischer Beweise aus den Körperaxiomen hergeleitet werden kann. Natürlich, die Substraktion (mit dem inversen Element zur Addition) und Division (mit dem inversen Element zur Multiplikation) ist ja quasi schon mit drin. Dann sollte noch das Potenzieren folgerbar sein, denn das ist ja schlussendlich auch nur eine Multiplikation. Genauso die Wurzel und der Logarithmus. Aber warum muss man neben K+ auch noch K* definieren? K* ist doch eigentlich aus K+ herleitbar, 5*4 ist doch auch auf die Addition zurückführbar mit 5*4 = 4+4+4+4+4 oder 5*4 = 5+5+5+5.

Eigentlich ist die grundsätzlichste aller Rechenoperationen doch die Addition und alles andere ist mit K1-K4 daraus herzuleiten, inklusive Multiplikation... würde ich sagen.


Oder was meint ihr?

Danke,

Thilo

Comments

Du hast ja schon im R^3 zwei Multiplikationen: Die Vektormultiplikation und die Multiplikation mit einem Skalar.

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ℝ³ ist kein Körper.

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Stimmt: $\mathbb{R}^3$ ist nur ein Ring.

PS: Wenn wir das Kreuzprodukt als Multiplikation erachten.

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Ist mir inzwischen auch aufgefallen. Danke. Komplexe Zahlen schon (vgl. Antwort). Wie steht's mit Quaternionen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Andere_Grundk.C3.B6rper

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Was sind den Quaternionen?

Answer 1

Die zwei Operationen in einem Körper werden nur "Multiplikation" und "Addition" genannt.

Sie haben oft nicht so viel mit der herkömmlichen Multiplikation bzw. Addition zu tun.

Z.B. Multiplikation in den komplexen Zahlen: $$i\cdot i$$ kann man nicht direkt auf eine Summe zurückführen.

Oder in endlichen Körpern gilt: Es gibt eine Primzahl p (genannt Charakteristik) mit $$p\cdot x:=x+\ldots +x=0$$

(die Summe hat hier p Summanden) für jede Zahl des Körpers.


Wurzeln und Logarithmus existieren übrigens in den meisten Körpern nur sehr bedingt, bestes Beispiel ist wohl der komplexe Logarithmus der nicht auf den ganzen komplexen zahlen definiert werden kann.


Mit Analogieschlüssen sollte man sehr vorsichtig sein.

Comments

Okay, aber warum definiert man in einem Körper gerade zwei Rechenoperationen, wenn doch eh bei "ähnlichen" Körpern weitere Rechenoperationen "nachdefiniert" werden müssen? Würde es dann nicht auch reichen, für einen Körper nur K+ zu definieren?

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Keine Ahnung was du mit bei "ähnlichen Körpern" weitere Rechenoperationen "nachdefiniert" meinst.

Und wie bereits gesagt: Nein es reicht bei weitem nicht nur die Addition zu definieren (damit hätte man nur eine abelsche Gruppe)


Ich vermute stark du kennst noch viel zu wenige Körper, wohl hauptsächlich die ganzen und rellen Zahlen. Es gibt aber viel, viel, viel mehr.

z.B. Meromorphe Funktion über einem Gebiet:. https://de.wikipedia.org/wiki/Meromorphe_Funktion ,

p-adische zahlen https://de.wikipedia.org/wiki/P-adische_Zahlen ,

rationale Funktionenkörper usw.

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Ja, das hatte ich auch gedacht, dass ich noch zu wenige Körper kenne, um das richtig zu verstehen. Wird schon noch im Laufe des Mathestudiums ;) Danke

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Was mir jetzt noch einfällt:

Das funktioniert schon bei reellen Zahlen nicht mehr:

$$\pi \cdot \pi$$ lässt sich nicht als endliche Summe ausdrücken, da $$\pi$$ und $$\pi ^2$$ transzendent . Es würde bereits irrational reichen $$\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$$