von 45 m² der Umfang am kleinsten

Question

 
Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45 m² der Umfang am kleinsten wird.

Mein Ansatz: ich nenne die breite b und die höhe des rechtecks a.
Somit ist folglich der Radius des Halbkreises: b2.
Somit hätte ich eine Variable weg.

meine Fläche setzt sich zusammen aus: A=a⋅b+ ((b²*Pi))/8 → 45m² =a⋅b+ ((b²*Pi)/8)
der Umfang: U=2⋅a+b+π⋅(b2)

ich löse die Fläche auf eine Variable auf(in meinem Fall a) und setze das dann in U ein.
→2⋅(25b−b⋅π8)+b+π⋅(b2)

Comments

Da müsste man schon etwas über die Form des Tunnels wissen,

und von wessen Umfang bzw. Flächeninhalt hier die Rede ist.

Kann es sein:  Querschnittsfläche ist ein Rechteck mit

aufgesetztem Halbkreis. Und um Flächeninhalt und Umfang der

Querschnittsfläche geht es ???

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ich habe die frage nochmals bearbeitet :)

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Habt Ihr das Verfahren nach Lagrange schon gehabt?

"Das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (nach Joseph-Louis Lagrange) ist in der mathematischen Optimierung eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen." siehe wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator.

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nein sondern extremwertprobleme mit nebenbedinungen

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Vom Duplikat:

Titel: Extremwertberechnung

Stichworte: extremwert,tunnel

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damut bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45 qm der Umfang am kleinsten wird?

Problem/Ansatz:

Wir sind am Verzweifeln. Bei unserer Berechnung kommt a=0 heraus. (a = Breite, b=Höhe). Im vorhergehenden Versuch, waren alle Ergenisse negative Zahlen.

Wäre super, wenn hier jemand helfen könnte; muß morgen früh abgegeben werden...

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Schau mal unter

https://www.mathelounge.de/580496/von-45-m-der-umfang-am-kleinsten

Answer 1

ich löse die Fläche auf eine Variable auf (in meinem Fall a)

45 =a⋅b+ ((b²*Pi)/8)

⇒ 45 = a⋅b+ π/8⋅b²

⇒ 45 - π/8⋅b² = a⋅b

⇒ 45/b - π/8⋅b = a.

und setze das dann in U ein.

U(b) = 2⋅a + b + π⋅(b/2)

    = 2⋅(45/b - π/8⋅b) + b + π⋅(b/2)

    = 90/b - π/4⋅b + b + π/2⋅b

    = 90·b^-1 + (-π/4 + 1 + π/2)⋅b

    = 90·b^-1 + (1 + π/4)⋅b

Jetzt Tiefpunkt von U(b) bestimmen.

Answer 2

Wenn du b/2 statt b2 schreibst,stimmen deine Überlegungen bis hierher: A=a⋅b+ ((b²*Pi))/8 → 45m² =a⋅b+ ((b²*Pi)/8)
der Umfang: U=2⋅a+b+π⋅(b2).

Dann ist U(b)=πb/2+2(45/b-πb/8)+b.

Funktionsterm lässt sich noch vereinfachen. Dann Nullstellen der ersten Ableitung suchen.

Comments

Bei mir kommt hier b=0 heraus. Das kann aber doch wohl nicht stimmen?

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Hilft leider nicht wirklich. Kann doch nicht sein, daß da 0 rauskommt?

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Ich habe es allgemein vorgemacht. Werte einsetzen und nachrechnen solltest du schaffen oder?

Answer 3

Der Querschnitt eines Eisenbahntunnels hat die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis. Wie müssen die Maße gewählt werden, damit bei einer vorgegebenen Querschnittsfläche von 45 m² der Umfang am kleinsten wird.

NB:

A = 2·r·h + 1/2·pi·r^2 --> h = (A/(2·r) - pi·r/4)

HB:

U = 2·r + 2·h + pi·r

U = 2·r + 2·(A/(2·r) - pi·r/4) + pi·r

U = A/r + r·(pi + 4)/2

U' = (pi + 4)/2 - A/r^2 = 0 → r = √(2·A/(pi + 4))

h = (A/(2·√(2·A/(pi + 4))) - pi·√(2·A/(pi + 4))/4) = √(2·A/(pi + 4)) = r

Du kannst das genau so nachrechnen nur das du für A gleich 45 Einsetzt und alles gleich vereinfachst.