Taylor von 1/(2+x) an der Stelle x=1 und Konvergenzradius.

Question

ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter...

ich verstehe nicht, wie ich hier auf die geom. reihe mit 1/(1-q) = Sum |q|^n kommen soll?

hier ist mein lösungsversuch:

hier habe erstmal von h direkt den taylor gebildet... aber wusste dann nicht mehr weiter und habe dann doch versucht irgendwie auf die geometr. reihe zukommen...

mfg

Answer 1

$$\frac1{x+2}=\frac1{x-1+3}=\frac13\frac1{1+\frac{x-1}3}=\frac13\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\left(\frac{x-1}3\right)^k=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{3^{k+1}}(x-1)^k.$$

Comments

ok ich weiß zwar nicht wieso du 3^{k+1} hast.. ich habe 1/3 einfach vor das summenzeichen gezogen: \( 1/3 \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{3^{k}}(x-1)^k \)

ich komme dann mit dem Wurzelkriterium (ohne x-1 einbezogen, nur a_n davor) auf 1/6 und der Radius ist somit 6?

mfg

---

ich weiß nicht ob das richtig ist, aber könntest du auch n blick hier drauf werfen bittte: https://www.mathelounge.de/580669/taylorreihe-bekannte-potenzreihe-grosstmogliches-intervall

mfg

---

(1)  Wenn du den Faktor 1/3 nicht vor die Summe ziehst, kommst du auf (1/3)·(1/3^k) = 1/3^k+1.

(2)  Die Reihe konvergiert, wenn |(x -1)/3| < 1, also |x - 1| < 3 ist.

---

also -2<x<4... hmm... der radius ist hier 3 und nicht 6 :(.. wie komme ich denn per rechnung hier drauf? was habe ich falsch gemacht?

und hast du hier |x-1|, also betrag genommen, da davor (-1)^k ist?

---

Nein. Die geometrische Reihe für 1/(1 - q) konvergiert bekanntlich, wenn |q| < 1 ist. Hier ist eben q = (1 - x)/3.

---

ok verstehe... noch ne letzte frage:

was ist mit meinem 1/3 vor der summe? bzw. wohin geht bei dir bei 3^{k+1} = 3^k*3 die eine 3 hin? konvergiert die reihe dadurch einfach gegen 1/3? ist also keine nullfolge?

mfg

---

Einfach ausmultiplizieren. Allgemein gilt c·∑a_k = ∑c·a_k.

---

also ich verstehe immer noch nicht ganz warum es |x-1|/3 ist und nicht |x-1|/6... aber ich merk mit das einfach so, dass ich den faktor einfach rauslasse für den radius. also alles ohne ^k...

mfg

---

Das Problem war, dass ich die geometr. Reihe als Summe q^k kenne... aber es ist wohl summe c*q^k. dann macht nun alles Sinn. :) vielen dank

Answer 2

1/(2+x)=

1/2 *1/(1-(-x/2))

Jetzt geometrische Reihe nutzen.

Comments

ah ok das macht sinn xD

ich glaube das müsste so richtig sein:)

mfg

---

Ach sry wenn man meine geometrische Reihe aufstellt, dann hat man die Taylorreihe an der Stelle x=0 . Schau mal bei der Antwort von Spacko, da kommt man auf die Stelle x=1. Ansonsten wäre oben bei dir der Konvergenz Radius 2, da aus |x/2| <1

--> x<2 bzw. x>-2 folgt.