Transformation von Zufallsvariablen

Question

Es sei X~U((0,1)) und Y=-log(X)

Bestimmen Sie die Verteilung und Dichte von Y.

Hallo ich habe leider Probleme beim Lösen dieser Aufgabe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Mein erster Ansatz ist folgender:
Wir wissen X ist stetig gleichverteilt. Also ist Fx(x) mit den Grenzen schon eingesetzt. Fx(x)=x-0/1 = x

Nun zu der Transformation: für < steht immer ein kleinergleich

P(Y<x)=P(-log(X)<x)  / hier wurde multipliziert mit (-1) => Ungleichheitszeichen dreht sich um

      =P( log(X)>-x)
      =P(    X<e^-x) Das ist mir hier nicht ganz klar. ich habe gelesen, dass eine multiplikation mit einer monoton fallenden Funktion wieder das Ungleichzeichen umdreht ist es also so richtig?

Setzt man nun die transformierte ZV in die Gleichverteilung ein folgt daraus:

Fy(x)=e^-x

Somit ist die Funktion in den Intervallgrenzen 0 und 1 e^-x
In den Grenzen x<0 nimmt sie den Wert 0 an
In den Grenzen x>1 nimmt sie den Wert 1 an

Die Dichte ist ja denn nur die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Ich hoffe ich hab mich deutlich genug ausgedrückt

Comments

ich habe gelesen, dass eine multiplikation mit einer monoton fallenden Funktion wieder das Ungleichzeichen umdreht

 Das hört sich für mich sinnvoll an (solange du mit "multiplikation" meinst, dass beide Seiten der Ungleichung in die Funktion eingesetzt werden). Allerdings hast du die Exponentialfunktion angewandt, die ja streng monoton steigend ist. Nach meinem Verständnis würde das Ungleichheitszeichen dann ncht umgedreht werden und du müsstest wahrscheinlich noch mit dem Gegenereignis arbeiten...

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Ja klar! habe die Aufgabe jetzt auch lösen können.

Die Verteilungsfunktion ist die e-funktion mit lambda =1.Jetzt fällt es mir noch schwer, die Grenzen der Verteilungsfunktion aufzustellen. Eigentlich könnte ich ja die der expoverteilung nehmen, aber wie ist es denn generell bei transformierten Zufallsvariablen?

Answer 1

Jetzt fällt es mir noch schwer, die Grenzen der Verteilungsfunktion aufzustellen.

Die Grenzen der Funktion? Du meinst die Defininitionsintervalle der Teilfunktionen? Ich würde es beim Einsetzen auch in die Bedingungen der Gleichverteilung einsetzen und entsprechend umformen:

$$\begin{aligned}F_y(x) &= P(-\log(X)\le x) = P(X\ge e^{-x})=1-P(X\le e^{-x})=1-F_x(e^{-x})\\ &=1- \begin{cases}0,\qquad e^{-x}\le 0\\ e^{-x},\quad 0<e^{-x}<1\\1 , \qquad e^{-x}\ge 1 \end{cases}\\ &=1 - \begin{cases} e^{-x},\quad x>0\\1, \qquad x\le 0 \end{cases} \\ & = \begin{cases} 1-e^{-x},\quad x \gt 0\\0 , \qquad\quad x\le 0 \end{cases} \end{aligned}$$

Da \(e^{-x}\le 0\) nie erfüllt ist, fällt der Fall einfach weg.So würde ich es mir zumindest denken, habe nicht wirklich groß Erfahrung bei dem Thema, scheint aber Sinn zu machen, da der Grenzwert der Funktion für x gegen unendlich 1 ist.

Comments

Ich verstehe nicht wie du auf den vorletzte Definition kommst. Da mein x nun zu e^-x transformiert wurde setze ich das auch in die Bereiche ein. Das ist klar. Das folgende leider nicht ganz.

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Die Ungleichung einfach nach x umformen:

$$\begin{aligned}e^{-x}&\ge 1&&|ln\\ -x&\ge ln(1)&&|\cdot (-1)\\ x&\le 0 \end{aligned}$$

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Super alles verstanden. Ganz am Anfang hast du die transformierten x Werte einfach in die stetige Gleichverteilung eingesetzt richtig?

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Genau, die Verteilungsfunktion für X~U(0,1) ist ja ausgeschrieben

$$ F_X(x)=\begin{cases} 0,& x\le 0 \\x,& 0<x< 1 \\1,& x\ge 1 \end{cases} $$

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Ich bräuchte da jetzt doch nochmal Hilfe. Ich habe hier eine weitere Verteilungsfunktion und wieder eine transformierte ZV.

Fx(x)= 0             x<0

         1/4x^2     0<=x<2

          1             x>=2

Y=X/2

Fy(x) habe ich schon berechnet und zwar Fy(x)=x^2

kannst du mir nochmal bei den Definitionsintervallen der Verteilungsfunktion helfen?

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Da ist nicht wirklich viel zu machen:

$$\begin{aligned}2x&<0&&|\cdot\frac{1}{2}\\ x&<0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}2x&\ge2&&|\cdot\frac{1}{2}\\ x&\ge1 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned}0&\le2x<2&&|\cdot\frac{1}{2}\\ 0&\le x<1 \end{aligned}$$

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Wieso hast du denn jetzt 2x genommen. Ich hab doch x^2.

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Wie bist du denn auf F_Y(x)=x² gekommen? Sollte doch so ausgesehen haben:

$$F_Y(x)=P(Y\le x)=P(X/2\le x)=P(X\le 2x)=F_X(2x)$$

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Ja genau. Diese setze ich doch aber wieder in Fx(x) ein also:

1/4(2x)^2, was x^2 macht

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Richtig und gleichzeitig setzt du die 2x in die Intervallgrenzen ein, nicht die x², die sind ja das Ergebnis der Einsetzung.