Wie sieht ein solcher Beweis aus? Textaufgabe

Question

In einem Land ist die Währung der Θ. Neben Münzen gibt es nur 3-Θ- Scheine und 7-Θ-Scheine. Zeigen Sie, dass man jeden Betrag ab 12 Θ passend (also ohne Wechselgeld) ausschliesslich mit Scheinen bezahlen kann.

13 ≤ 3x +7y

soll man das mit Induktion beweisen oder wie geht man hier vor ?

Answer 1

12 = 4*3

13 = 1*7 + 2*3

14 = 2*7

Langt es nicht zu zeigen, dass ich 12, 13 und 14 Euro mit Scheinen Zahlen kann. Denn ich könnte jeden anderen Betrag so lange mit 3 Euro bezahlen, bis ich einen Rest von 12, 13 oder 14 habe.

Also

15 = 3 + 12

16 = 3 + 13

17 = 3 + 14

18 = 6 + 12

etc.

Answer 2

Den vollständigen Beweis kann ich nicht liefern. Könnte man zeigen: "Von jeder Zahl über 12 kann man so oft 7 subtrahieren, bis eine durch 3 teilbare Zahl übrig bleibt" wäre man fertig.

Übrigens: Für jedes x gilt: mod(x,7) ist eine der Zahlen von 0 bis 13.

Answer 3

soll man das mit Induktion beweisen

Wenn man das mit Induktion beweisen sollte, dann würde in der Aufgabenstellung stehen "Beweisen sie mit Induktion, dass ...".

Weil das nicht in der Aufgabenstelluntg steht, darfst du die Mittel selbst wählen, und bist nicht dazu verpflichtet, Induktion zu verwenden.

13 ≤ 3x +7y

Diese Ungleichung scheint mir etwas aus dem Zusammenhang gerissen zu sein. Dem ersten Anschein nach ist sie lösbar. Aber inwieweit helfen dir die Lösungen bei der Beantwortung der Frage?

Zeigen Sie, dass man jeden Betrag ab 12 Θ passend (also ohne Wechselgeld) ausschliesslich mit Scheinen bezahlen kann.

Zeigen Sie, dass die Gleichung b = 3x + 7y für jedes b∈ ℕ ganzzahlige Lösungen hat, wenn b ∈ ℕ und b ≥ 12 ist.

Tipp: kgV von 3 und 7 ist 21. 12 + 21 = 33. Wenn du jedes n ∈ ℕ mit 12 ≤ n ≤ 21+12 als 3x + 7y mit x,y ∈ ℕ darstellen kannst, dann auch jedes n ∈ℕ mit n ≥ 12.