Hallo Caro,
Der Beweis von (a) lässt sich direkt führen $$\begin{aligned} {n \choose k+1} &= \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \\& = \frac{n!}{k!(k+1)(n-k)! \frac{1}{n-k}}\\ &= \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot \frac{n-k}{k+1} \\ &= {n \choose k} \cdot \frac{n-k}{k+1}\end{aligned}$$
(b) kann man in eine bekannte Summe umwandeln $$\begin{aligned} \sum_{i=0}^{n} i{ n\choose i} &= \sum_{i=1}^{n} i{ n\choose i} \\ &= \sum_{i=1}^{n} i\frac{n!}{ i! (n-i)! } \\&= \sum_{i=1}^{n} \frac{(n-1)! n}{ (i-1)! (n-i)! } \quad \left| i=k+1\right.\\ &= n\sum_{k=0} \frac{(n-1)!}{k! ((n-1)-k)!} \\&= n \sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k} \\&= n \cdot 2^{n-1} \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Die Gleichheit von \(\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n\) lässt sich mit dem Binomischen Lehrsatz zeigen
$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k}y^{n}$$ setzte \(x=y=1\).
(c) ist einfach. Faktorisiere den Term $$n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)$$ist das Produkt dreier auf einander folgender Zahlen, von denen genau eine durch 3 teilbar ist.
(d) ist die Bernoullische Ungleichung - der Beweis steht im Wiki-Artikel $$(1+x)^n \ge 1+ nx$$ Falls noch etwas unklar ist, so melde Dich bitte.
Gruß Werner
