Seien \(z, w\in\mathbb{C}\) beliebige komplexe Zahlen. (Mit \(\overline{z}, \overline{w}\in\mathbb{C}\) werden im Folgenden die entsprechenden komplex konjugierten Zahlen bezeichnet.)
Dann ist
\(\begin{aligned}\left\lvert z\right\rvert\cdot\left\lvert w\right\rvert & =\sqrt{z\cdot\overline{z}}\cdot\sqrt{w\cdot\overline{w}}=\sqrt{z\cdot\overline{z}\cdot w\cdot\overline{w}} \\ & =\sqrt{z\cdot w\cdot\overline{z}\cdot\overline{w}}=\sqrt{z\cdot w\cdot\overline{z\cdot w}}=\left\lvert z\cdot w\right\rvert\text{.}\end{aligned}\)
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Alternativ ...
Seien \(z, w\in\mathbb{C}\) beliebige komplexe Zahlen.
Setze \(a:=\text{Re}(z)\) und \(b:=\text{Im}(z)\) und \(c:=\text{Re}(w)\) und \(d:=\text{Im}(w)\), sodass \(z=a+\text{i}b\) und \(w=c+\text{i}d\) ist.
Dann ist einerseits
\(\begin{aligned} \left\lvert z\right\rvert\cdot\left\lvert w\right\rvert & = \sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{c^2+d^2} \\ & =\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(c^2+d^2\right)} \\ & =\sqrt{a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2}\text{.}\end{aligned}\)
Andererseits ist
\(\begin{aligned} \left\lvert z\cdot w\right\rvert & = \left\lvert \left(a+\text{i}b\right)\cdot \left(c+\text{i}d\right)\right\rvert \\ & = \left\lvert a\cdot c+a\cdot\text{i}d+\text{i}b\cdot c+\text{i}b\cdot\text{i}d\right\rvert \\ & = \left\lvert a c+\text{i}a d+\text{i}b c-b d\right\rvert \\ & = \left\lvert a c-b d+\text{i}\left(a d+b c\right)\right\rvert \\ & = \sqrt{\left(a c-b d\right)^2+\left(a d+b c\right)^2} \\ & = \sqrt{\left(a c\right)^2-2\cdot a c\cdot b d+\left(b d\right)^2+\left(a d\right)^2+2\cdot a d\cdot b c + \left(b c\right)^2}\\ & = \sqrt{a^2 c^2-2a b c d+b^2 d^2+a^2 d^2+2 a b c d + b^2 c^2} \\ & =\sqrt{a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2}\text{.}\end{aligned}\)
Damit erhält man
\(\left\lvert z\cdot w\right\rvert = \sqrt{a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2} = \left\lvert z\right\rvert\cdot\left\lvert w\right\rvert\text{.}\)
