Abbildung zwischen Potenzmengen

Question

Hi. Ich sitze seit 2h an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter, Vlt. kann mir ja jemand helfen? Danke schon mal

Es seien A, B Mengen und f : A → B eine Abbildung. Wir betrachten die Abbildung
               f∗: P(B) → P(A), N → f^−1(N)        (das Urbild von N unter f).

Zeigen Sie:
(a) Es ist f injektiv genau dann, wenn f∗ surjektiv ist.
(b) Es ist f surjektiv genau dann, wenn f∗ injektiv ist.

Answer 1

Betrachte jedenfalls auch

#https://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)#Bild_und_Urbild

und dann zu a)   Sei f Injektiv.

Sei Y ∈ P(A) . Dann musst du ein X  ∈ P(B) finden

mit f*(X) = Y , also eine Teilmenge von B, deren

Urbildmenge Y ist.   wegen f^{-1}(f(Y)) = Y ist

die gesuchte Teilmenge f(Y), also die

Bildmenge von Y.

umgekehrte Richtung: Sei f* surjektiv, also

gibt es für jede Teilmenge X von A eine Teilmenge

Y von B mit  f*(Y)=X ,  also f^{-1}(Y) = X. 

Wäre f nicht Injektiv,  dann gäbe es zwei verschiedene

Elemente a und b in A und ein y ∈ B mit f(a) = f(b)=y  .

Dann gibt es zu  X = {a} kein Y von B mit  f*(Y)=X

denn jedes Y ∈ P(B) mit f*(Y)=X muss sowohl a

als auch b enthalten.  Widerspruch !