Wie bestimme ich eine bijektive Funktion? f : ]0;1[ --> R

Question

Ich soll eine bijektiv Funktion erstellen mit

f : ]0;1[ --> R

Nur habe ich keine Ahnung wie ich eine solche Funktion ermittle. Es sollte bitte eine andere sein, als die Tangens Funktion.

Danke.

Answer 1

f : ]0;1[ --> R

Ich versuche es mal mit

f1 : ]0;1[ --> R, f(x):= 1/( x * (x-1))

f1 hat nun mal die richtigen Pole. Nun muss aber zwischen x=0 und x=1 noch eine Nullstelle liegen.

[spoiler]

f2 : ]0;1[ --> R, f(x):= (x-1/2) /( x * (x-1))

~plot~ 1 /( x * (x-1));(x-1/2) /( x * (x-1)) ~plot~

Comments

Vielen Dank, welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

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welche Funktionstypen eignen sich eigentlich noch um diese Aufgabe zu lösen?

alle stetigen monoton fallenden oder steigenden Funktionen, die in den Grenzen (hier 0 und 1) einen Pol mit jeweils unterschiedlichem Vorzeichen besitzen. Z.B. \(\tan x\) im Intervall \(]-\pi/2; +\pi/2[\). Sind die Grenzen \(a\) und \(b\) so macht man: $$f(x) = \tan\left( \pi \cdot \left(\frac{x-a}{b-a}-\frac12 \right)\right) \quad \mathbb{D}= ]a;b[$$

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Irgendetwas mit Polen, d.h. Nullstellen im Nenner ist geeignet.

Nimm beliebige Funktionen, bei denen du die Nullstellen kennst und davon den Kehrwert.

Z.B. auch f3(x) = 1 / sin(x)

Hier musst du aber vor das x noch einen geeigneten Faktor setzen und einen geeigneten Zähler bestimmen.

~plot~ (x-1/2) / sin(π*x) ~plot~