Untervektorraum mit Funktionen

Question

Ich muss euch nochmal nerven. Entscheide ob ein es sich um einen Untervektorraum handelt

a) $$W = { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(0) = 0}$$
(b) $$W = { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(0) = 1}$$
c) (periodic functions with period 1) $$W = { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(x+1) = f(x)}$$
d) $$W = { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} | f(ax) = a^3f(x)}$$
Unsere Definition:
(SS1) W closed with respect to addition: a + b in W, a, b in W
(SS2) W closed with repsect to scalar multiplication ...

a) ist ein Untervektorraum. Egal ob ich ein skalar nehme oder g(0) addiere, es haut hin.
b) Es scheitert an der Addition und skalaren Multiplikation
c) Hier verstehe ich es nicht. Wenn ich als Funktion mod2 nehme, dann geht es nicht. Wenn ich haber sin() nehme, würde es doch hinhauen? Vielleicht verstehe ich die Periode nicht.
d) Hier bin ich mir nicht sicher, was mit dem skalar passiert, da ja "a" schon ein Skalar und hoch 3 genommen wird.

Comments

Denk ich wieder alles kaputt?

Answer 1

c) probiere doch einfach die Summe, wenn f und g beide in W,

dann gilt  (f+g)(x+1) = f(x+1)+g(x+1) = f(x) + g(x) = (f+g)(x).

Das passt also . Und mit skalarem Faktor a

(a*f)(x+1) = a*f(x+1) = a*f(x) = (a*f)(x) passt   auch.

Außerdem ist die Menge nicht leer; denn die 0-Funktion hat die

Eigenschaft.

Was du mit mod 2 meinst, ist mir nicht ganz klar, das wird ja üblicherweise

nur für ganze Zahlen benutzt.

d) Die Funktion mit f(x)=x^3 hat die Eigenschaft. und auch jede

Vielfache davon , also etwa f(x) = b*x^3 . da ist f(ax) = b* a^3*x^3 = a^3 * f(x) .

Sonst hat das wohl keine Funktion, also ist der Vektorraum der

Vielfachen von der x^3 - Funktion, und das ist in der Tat ein VR.

Comments

Aber meine Annahme bei a) und b) stimmt? a) UVR, b) kein UVR?

Bei C dachte ich an das Beispiel: f(x) = 2*x mod2 -> mit 1/2 multiplizieren:
$$1/2*f(5) = \frac{(2*5)mod2}{2} = \frac{0}{2} = 0$$
$$(1/2*f)(5) = \frac{2*5mod2}{2} = \frac{1*5mod2}{1} = \frac{1}{1} = 1$$

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Wir können das Beispiel auch weg lassen. Stimmen wenigstens a) und b)