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Beweis injektiver Gruppenhomomorphismus
Um zu beweisen, dass die gegebenen Abbildungen injektive Gruppenhomomorphismen sind und dass \(H\) ein Normalteiler des halbdirekten Produkts ist, gehen wir schrittweise vor.
1. Abbildungen sind Gruppenhomomorphismen:
Ein Gruppenhomomorphismus von einer Gruppe \(X\) in eine Gruppe \(Y\) ist eine Funktion \(f: X \rightarrow Y\), die für alle \(x_1, x_2 \in X\) die Eigenschaft \(f(x_1 x_2) = f(x_1) \cdot f(x_2)\) erfüllt, wobei die Operationen auf der linken und rechten Seite die Gruppenoperationen in \(X\) bzw. \(Y\) sind.
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Für \(G \longrightarrow G \times H\), \(g \mapsto(g, e)\):
Für zwei Elemente \(g_1, g_2 \in G\), haben wir:
\(
f(g_1g_2) = (g_1g_2, e)
\)
Und auf der rechten Seite:
\(
f(g_1) \cdot f(g_2) = (g_1, e) \cdot (g_2, e) = (g_1g_2, ee) = (g_1g_2, e)
\)
Somit erfüllt die Abbildung die Homomorphismuseigenschaft.
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Für \(H \longrightarrow G \times H\), \(h \mapsto(e, h)\):
Für zwei Elemente \(h_1, h_2 \in H\), haben wir:
\(
f(h_1h_2) = (e, h_1h_2)
\)
Und auf der rechten Seite:
\(
f(h_1) \cdot f(h_2) = (e, h_1) \cdot (e, h_2) = (ee, h_1h_2) = (e, h_1h_2)
\)
Also erfüllt diese Abbildung ebenfalls die Homomorphismuseigenschaft.
2. Abbildungen sind injektiv:
Eine Abbildung \(f: X \rightarrow Y\) ist injektiv, wenn für alle \(x_1, x_2 \in X\) aus \(f(x_1) = f(x_2)\) folgt, dass \(x_1 = x_2\).
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Für \(G \rightarrow G \times H\):
Angenommen, \((g_1, e) = (g_2, e)\), dann gilt offensichtlich \(g_1 = g_2\). Somit ist die Abbildung injektiv.
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Für \(H \rightarrow G \times H\):
Ebenso, wenn \((e, h_1) = (e, h_2)\), muss \(h_1 = h_2\) gelten, was die Injektivität zeigt.
3. \(H\) ist ein Normalteiler des halbdirekten Produkts:
Ein Normalteiler \(N\) einer Gruppe \(G\) ist eine Untergruppe von \(G\), die für jedes Element \(g \in G\) die Bedingung \(gNg^{-1} = N\) erfüllt.
Die Operation des halbdirekten Produkts \(G \times_\theta H\) auf \(H\) durch Automorphismen bedeutet, dass wir die Elemente von \(H\) unter Beibehaltung der Gruppenstruktur "umordnen" können, ohne sie zu "verlieren". In diesem Kontext verhält sich \(H\), repräsentiert durch \((e, H)\), als Normalteiler, da für jedes \((g, h) \in G \times_\theta H\), die Konjugation von einem Element \((e, h) \in (e, H)\) eine Operation in \(H\) ist, die es in ein anderes Element in \(H\) überführt, was die Struktur eines Normalteilers bestätigt.
Formal ausgedrückt, für ein beliebiges \(h' \in H\) und für jedes Element \((g, h) \in G \times H\), gilt die Beziehung \((g, h)(e, h')(g, h)^{-1} \in (e, H)\), da die Operation als Automorphismus definiert ist und somit \(H\) stabil bleibt.
Kurz zusammengefasst haben wir gezeigt, dass die gegebenen Abbildungen injektive Gruppenhomomorphismen sind und dass \(H\) als Normalteiler des halbdirekten Produkts betrachtet werden kann.
