Flächeninhalt des Graphen der Funktion (R^3)

Question

Aufgabe:

Flächeninhalt des Graphen der folgenden Funktion:

$$f_{2}: \left\{(x,y) \in  \mathbb R | x^2+y^2\leq 81,  x^2 + (y-5)^2 \geq 25 \right\} → \mathbb R , (x,y) → x+y$$

Problem/Ansatz:

$$\int_{a}^{b} \! \int_{0}^{2\pi } \! r*(rcosφ+rsinφ) \, dr  \, dφ$$

ich bin mir nicht sicher welche intervallsgrenzen zunutzen sind.

aus \(x^2+y^2 \leq 81 \\x^2+y^2-10y \geq 0\) folgen a= -9 und b=9?

mfg

Comments

mir fällte gerade auf hab nen falschen Ansatz:

$$\int_{a}^{b} \! \int_{0}^{2\pi } \! r*\sqrt{3} \, dr  \, dφ$$

so müsste das sein.

mfg

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Die gesuchte Fläche entspricht √3* der Fläche des Integrationsgebiets. Ermittle die Grundfläche elementargeometrisch (siehe Skizze). Das kann man mit Parametrisierungen nur unschön berechnen.

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ich habe gedacht 8.1 ist vielleicht der radius des neuen Kreises, kombination der beiden anderen Kreise. also die fläche des kleinen kreises von dem großen abgezogen. aber das kleine stück von oben miteinberechnet. dachte das hat der mathe_coach unten berechnet...

dann kam ich

$$\int_{0}^{8.1} \! \int_{0}^{2\pi } \! r*\sqrt{3} \, dr  \, dφ$$

ich glaube das meinst du doch?

mfg

Answer 1

Kannst du dir das mal skizzieren

Ich hätte als äußere Grenzen

Man kann ja einfach als Grenzen 0 <= y <= 8.1 nehmen

Comments

wieso 8.1? wie sieht deine rechnung aus, bzw. die herleitung?

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Wo schneiden sich die Kreise bzw. gilt

x^2 + y^2 = 81 --> x^2 = 81 - y^2

x^2 + (y - 5)^2 = 25 --> x^2 = 25 - (y - 5)^2

Also

81 - y^2 = 25 - (y - 5)^2 --> y = 8.1

Noch Fragen?

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ich dachte da muss 9 rauskommen... da x=81-9^2 <=> x=0... was ja sinn macht. aber wenn du dir sicher bist nehme ich 8.1

also so?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5Br*sqrt(3),%7Br,0,8.1%7D,%7By,0,2PI%7D%5D

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Naja. Für x > 8.1 hast du ja keine graue Fläche mehr.

Siehe dazu das Bild von Roland.

Das ist aber sicher vom Ansatz abhängig den man beim Integrieren wählt.

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wenn ich das auf geogebra eingebe kommt das raus:

ich muss aber nur die Fläche des Kreises mit dem radius 8.1 ausrechnen (oben Blau)? Aber der Radius ist 9 eigentlich. also wieso 8.1? und was ist mit dem roten kreis?

bin gerade etwas verwirrt..

mfg

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Du verwechselst Radius und Schnittpunkt....Der Schnittpunkt zwischen dem Großen und dem Kleinen Kreis liegt bei y= 8.1; x=4, der Radius des Großen Kreises ist allerdings 9 , das stimmt schon

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... Der Schnittpunkt zwischen dem Großen und dem Kleinen Kreis liegt bei y= 8.1; x=4, ...

(Hab reingezoomt, bis dass die Skala meines Geodreicks gepasst hat und hab dann abgelesen)

x = ±√15.39 = ±3.923009049

Also Mathematik geht anders als reinzoomen :)

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y = 8.1 und x = +-4 ?

kann man ja ausrechnen...

aber wie gehts jetzt weiter? was ist unsere integrationsgrenze?

wie sieht das integral aus?

so? (mit flächenformel, dann in polarkoordinaten umwandeln)

$$\int_{0}^{8.1} \! \int_{0}^{2\pi } \! r*\sqrt{3} \, dr  \, dφ$$

aber so kommt was richtig komisches raus...

mfg

Answer 2

Es geht um diese Fläche:

Comments

ja genau kreis mit radius 9 habe ich ja... wie komme ich auf den kleineren Kreis und dessen Radius?

mfg

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oder ist der radius 8.1?

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was sagst du dazu? oder lieber 8.1? ich kann bei dir den Radius des Kreises nicht ablesen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int%5Br*sqrt(3),%7By,0,2PI%7D,%7Br,0,9%7D%5D

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Hi ich sitze an der selben Aufgabe ;) also abgelesen aus der Skizze von Roland ist der Radius des großen Kreises 9

(Hab reingezoomt, bis dass die Skala meines Geodreicks gepasst hat und hab dann abgelesen)

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allerdings kann man das auch rechnerisch machen, wie du schon richtig vermutet hast \( \sqrt{81} \) = 9 -> Radius großer kreis

x^2+(y-5)^2 =25 \( \sqrt{25} \) = 5 -> Radius kleiner Kreis

Aber wie stellt man nun die Integrale auf, sind ja Polarkoordinaten?

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ja das stimmt schon aber wir brauchen wie es aussieht die schnittpunkte der kreise... und das ist bei y = 8.1... aber wie das nun weitergeht weiß ich nciht

mfg