Lineare Unabhängigkeit mit Variabel in 3 Vektoren

Question

Aufgabe:

Für welche t ∈ R sind die folgenden Vektoren in R3 linear unabhängig?

$$u=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$v=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

$$w=\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 1 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

Reicht meine Lösung mit dem Schlusssatz formal aus für diese Aufgabe oder muss ich noch etwas ergänzen? 

Answer 1

Die Schlussfolgerung

        3·(-3l) + l + l·t = 0 ⇒ t = 8

ist nicht korrekt. 3·(-3l) + l + l·t = 0 kann gelten ohne dass t=8 gilt.

Comments

Wie kann denn  3·(-3l) + l + l·t = 0  ohne dass t=8 gelten ? Und was muss ich noch tun, damit die Aufgabe vollständig richtig ist ?

Bin gerade im ersten Semester. Verzweifel so langsam in lineare Algebra. Fast alles was ich an Aufgaben mache ist immer irgendwie unvollständig oder nicht komplett richtig. Das schlimme daran ist, dass mir die Fehler nicht auffallen ...

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Wie kann denn  3·(-3l) + l + l·t = 0  ohne dass t=8 gelten ?

l = 0.

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Und was muss ich noch tun, damit die Aufgabe vollständig richtig ist ?

Das "⇒ t = 8" entfernen. Stattdessen:

    t ≠ 8 ⇒ k = l = m = 0 ist einzige Lösung des LGS.

    t = 8 ⇒ k = -3, l = m = 1 ist eine Lösung des LGS.

Übrigens, wenn du sowieso über die Determininante argumentierst, dann kannst du auch direkt die Gleichung

        1·1·1 + 2·t·0 + 1·3·(-1) - 2·3·1 - 1·t·(-1) - 1·1·0 = 0

lösen.

Fast alles was ich an Aufgaben mache ist immer irgendwie unvollständig oder nicht komplett richtig.

Traue deiner Intuition um Lösungswege zu finden. Begründe den Lösungsweg dann mittels Sätzen und Definitionen. In der Bründung sollte kein "ist intuitiv einsichtig" mehr übrigbleiben.

Verwende weniger mathematische Abkürzungen und mehr deutsche Sprache.

Und wenn du immer alles richtig hättest, dann solltest du dir vielleicht eine  anspruchsvollere Beschäftigung aussuchen.

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Wie würde ich denn ohne die Determininante argumentierten?

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Wie würde ich denn ohne die Determininante argumentierten?

Das hast du im wesentlichen schon gemacht indem du das LGS gelöst hast. Lediglich die Implikation

        3·(-3l) + l + l·t = 0 ⇒ t = 8

war nicht korrekt. Verwende stattdessen die zwei Implikationen aus meinem vorhergehenden Kommentar.