Zeige, dass R[x]_{4} = {ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e : a, b, c, d, e ∈ R} ein Vektorraum ist

Question

Aufgabe:

Es sei R[x]_{4} = {ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e : a, b, c, d, e ∈ R}

die Menge der Polynome vom Grad höchstens 4.

a) Zeigen Sie, dass R[x]_{4} ein Vektorraum ist.
b) Zeigen Sie, dass R[x]_{4} isomorph zu einem R^n mit n ∈ N ist (Nennen Sie dabei explizit n).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich hier anfangen kann Mathe war zu lange her bei mir :/

Comments

a) inzwischen auch hier https://www.mathelounge.de/589299/aufgabe-es-sei-r-x-4-ax4-bx3-cx2-dx-e-a-b-c-d-e-r

Answer 1

b)

Vielleicht klappt die Abbildung \(\mathbb R[x]_4\to\mathbb R^5,\,ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\mapsto\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\e\end{pmatrix}\).

Answer 2

Hallo

 wie kommst du zu so ner Aufgabe, wenn Mathe lange her ist?

schreibe die Axiome eines VR auf und prüfe sie eins nach dem anderen, es ist fast nur hinschreiben.

Gruß lul

Comments

Und wie würde es bei der b) aussehen? Isomorph würde ja bedeuten, das R[x]4 -> R^n bijektiv ist, aber wie zeigt man das?

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Also man soll zeigen,

V1 ist abelsche Gruppe

V2 ist abgeschlossen bzgl. Skalarmultipilikation

V3 ist neutral bezgl. 1K

V4 Assoz.

und die beiden Distributivgesetze 1 + 2.

Aber es ist doch gar kein Vektor oder so definiert, Außerdem geht R -> R4. Das ist zwar per Def. bijektiv, aber warum?

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@lul

Was ist das denn für eine Frage ?

Vielleicht hatte sie schon lange keine Mathe und studiert gerade irgendein Fachbereich was mit Mathe zutun hat?

Hier wird nicht gefragt warum sie schon lange keine Mathe hatte, sondern die Aufgabe.

Bitte tun Sie demnächst nicht auf BESSERWISSER!

danke im voraus.

Rejes.

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@ Rejes

wir werden gefragt, weil wir es besser wissen, oder der Fragende das hofft! die Frage bezieht sich auf den Wissensstand, den möchte ich besser wissen, weil ich dann besser antworten kann.

zur Frage: Vektoren sind alle Objekte, die den Axiomen eines VR genügen, auf der Schule leider nur die Vektoren des R^2 und R^3

du musst also zeigen, dass ein Polynom  bis zum 4 ten grad mit einer reellen Zl multiplizieren wieder eines ist, dass die Summe von 2 en wieder eines ist, und dass es einen 0 Vektor, hier p(x)=0 gibt.

zur Isomorphie: a) gib eine Basis an, etwa 1,x,x^2,x^3,x^4  für die Polynom an und bilde auf die Standardbasis des R^5 ab. zeige dass man in beide Richtungen, dann jedes Polynom oder jeden Vektor des R^5 so darstellen kann, (oder siehe den Kommentar von Spacko)

Gruß lul

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Marcy versteht nichts :(

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@ lul

Hallo lul,

Mir kam dein Antwort Respektlos rüber deswegen wollte ich dich daraufhinweisen.

Tut mir leid, ich habe gerade gemerkt das ich auch respektlos gegenüber dir war, nur als ich es gelesen hatte fand ich es traurig gegenüber Katarina. "wie kommst du zu so ner Aufgabe, wenn Mathe lange her ist?" war auf das bezogen.
Oder vielleicht habe ich es falsch verstanden.

Lg,

Rejes

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Also Polynom umschreiben in x^4 + x³ + x² + x + 1

Und dann zeigen ob Gruppenhomomorphismus und ob's bijektiv ist.

f (x^4 + x³ + x² + x + 1) = f(x^4) + f(x³) + f(x²) + f(x) + 1????

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Hallo

nein du hast was falsch verstanden, das Polynom  ax^4+...+d*x+e kannst du umschreiben in e*e₁+d*e₂+....a*e₅

 genau wie du auch einen Vektor des R^5 den man in Komponenten als (e,d,c,b,a)^T schreibst eigentlich als e*e₁+d*e₂+....+a*e₅ mit e_i die Basisvektoren. schreiben musst, die Schreibweise als Zahlentupel ist dafür ja nur ne Abkürzung,

nenne die Basis der Polynome z.B p_i und bilde sie auf die Standardbasis des R^5 mit e_i ab, damit werden alle Polynome eindeutig auf die Vektoren des R^5 abgebildet.

Gruß lul