Zeige, dass es in einer Gruppe mit Ordnung 6 ein Element mit Ordnung 2 und ein Element mit Ordnung 3 gibt

Question

Meine eigentliche Aufgabe ist es, zu Beweisen, dass eine abelsche Gruppe mit Ordnung 6 zyklisch ist.

Nach dem Satz von Lagrange weiß ich, dass die Elemente der Gruppe G die Ordnung 1,2, 3 oder 6 haben.

Für den weiteren Beweis gab mein Dozent den folgenden Lösungsansatz vor:

Zeigen Sie durch Abzählen der Elemente einschließlich ihrer Produkte und Inversen, dass es ein Element a der Ordnung 2 und ein Element b der Ordnung 3 geben muss. Betrachten Sie dann das Produkt ab.

Wie zähle ich denn jetzt die Elemente ab? Und wie bilde ich Inverse???

Also meine Gruppe besteht ja bislang aus G={1,a,b,c,d,e}

Dann habe ich also die Elemente 1,a,b,c,d,e, ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,a^-1,b^-1,c^-1,d^-1,e^-1 oder wie muss ich mir das ganze vorstellen??

Answer 1

Sei G eine abelsche Gruppe der Ordnung 6.

Was wir zuerst zeigen müssen, dass ein Element der Ordnung 2 existiert:

Wenn kein Element Ordnung 2 hätte, dann wäre kein Element sein eigenes Inverses (weil ord(g) = 2 impliziert g * g = e), dann könnte man jedes Element außer der 1 mit seinem Inversen paaren: Es sind aber 5 (ungerade viele!) Elemente nicht 1, also geht so etwas nicht, daher muss es ein Element a von Ordnung 2 geben. Ähnlich (was auch immer das bedeutet ;) ) bekommst du ein Element b der Gruppe 3.

Bemerkung: Falls ihr den Satz von Cauchy schon hattet, erübrigt sich das obige natürlich ;)

Was wir jetzt zeigen wollen: ab hat Ordnung 6 und deshalb ist G zyklisch mit Erzeuger ab.

Jetzt rechnest du die Ordnungen erstmal aus:

a hat Ordnung 2, wissen wir schon, a² = e hat Ordnung 1:

b hat Ordnung 3, b² hat auch Ordnung 3 (da es das Inverse von b ist), und b³ = e hat Ordnung 1.

Jetzt rechnest du unter Verwendung des Faktes, dass G abelsch ist:

(ab) kann nicht e sein, da a und b verschiedene Ordnung haben.

(ab)² = a²b² = b² ist nicht e.

(ab)³ = a³b³ = a²ab³ = a ist nicht e.

(ab)⁴ = a²a²b³b = b ist nicht e.

(ab)⁵ = a²a²ab²b³ = ab² kann nicht e sein, da a und b² unterschiedliche Ordnung haben.

(ab)⁶ = a²a²a²b³b³ = e ist das neutrale Element.

Du hast jetzt also die 6 Elemente ab, b², a, b, ab² und e, die allesamt Potenzen von ab sind, was die Behauptung beweist.

LG

Comments

Vielen vielen Dank, jetzt verstehe ich schon genauer worauf mein Dozent hinaus will!

Den Satz von Cauchy kenne ich, hatten wir nur leider noch nicht in der Vorlesung. Sonst hätte ich den Beweis auf jeden Fall so geführt!

Um zu zeigen, dass ein Element 3 existiert: du meinst ja das funktioniert ähnlich... Mir fällt aber nicht ein, wie ich das auf ähnliche Art und Weise lösen soll. Für ein Element der Ordnung 3 gilt ja g*g*g=e. Mit dem selbstinversen kann ich also nicht argumentieren.

Ich würde das folgendermaßen lösen: Angenommen die nicht-trivialen Elemente haben alle die Ordnung 2. Seien a≠b von der Ordnung 2. Dann ist {e,a,b,ab} eine Untergruppe von G mit der Ordnung 4. Das ist ein Widerspruch zum Satz von Lagrange, denn 4 teilt nicht 6. Daraus folgt, dass nicht alle nicht-trivialen Elemente die Ordnung 2 besitzen können und es ein nicht-triviales Element b geben muss mit Ordnung 3 oder 6.

Aber wie zeige ich jetzt, dass es ein Element der Ordnung 3 geben muss. Es kann ja auch der Ordnung 6 sein?

Würde ich durch deine Beweisführung direkt darauf kommen? Dann müsste ich ja, wie bei der 2, davon ausgehen, dass es kein Element der Ordnung 3 gäbe. Und ich weiß g*g*g=e. Aber was kann ich daraus folgern????

Answer 2

Hallo

 mit a hast du a^2, a^3, a^4, a^5, a^6

das müssen schon alle Elemente einschließlich  1  sein falls a Ordnung 6 hat, sonst muss mindestens ein weiteres Element darunter sein.  z.B b=a^2 dann a^4=b^2 und a^6=b^3 usw.

All die Elemente , die du nach a bis e aufgezählt hast sind ja wieder eins von denen, mehr als 6 hast du nicht.

Gruß lul

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Aber die Aufgabe lautet ja: Zeigen Sie durch Abzählen der Elemente einschließlich ihrer Produkte und Inversen, dass es ein Element a der Ordnung 2 und ein Element b der Ordnung 3 geben muss.