Bestimmen Sie die Schnittgerade der zwei Ebenen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die beiden Ebenen

E_{1} : 2x + 10y - 4z + 22 = 0

und

E_{2} : 34 - 2y - 4z - 10x = 0

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen.

Bitte um Erklärung der Aufgabe und was sind Schnittgeraden?

Comments

Schnittgeraden sind Geraden, die durch die gemeinsamen Punkte zweier oder mehrer Objekte gebildet werden.

Answer 1

Wenn zwei Ebenen nicht parallel sind, haben

sie gemeinsame Punkte, die alle auf einer Geraden liegen.

Das ist dann die Schnittgerade.

Um die auszurechnen bildest du aus den Ebenengleichungen

ein Gleichungssystem, hier

2x + 10y - 4z = -22  und

-10x  -2y  - 4z  = -34

Dann erste minus zweite gibt

          12x  +  12y  =  12   bzw  y= -x +1

Also sind die gemeinsamen Punkte alle, die so

aussehen    P =   (  x , -x+1 ,  z )

und das z kannst du aus der ersten Gleichung bestimmen, wenn

du   y= -x +1  dort einsetzt

2x + 10( -x+1) - 4z  = -22  gibt z = 8 -2x

also   P =   (  x , -x+1 ,  8 - 2x )

             =     (  0 , 1 ,  8  )  + x*  (  1 , -1 , - 2)

Das ist also die Gerade durch   (  0 , 1 ,  8  )

mit dem Richtungsvektor  (  1 , -1 , - 2) .

Answer 2

Zwei aneinanderstoßende Wände eines Raumes sind zwei Ebenen. Da, wo sie aneinanderstoßen, liegt die Schnittgerade.

Um ihre Gleichung zu bestimmen, rechne E₁-E₂ und erhalte 12x+12y-12=0 oder x+y-1=0 Für einen gemeinsamenPunkt von E₁ und E₂ muss also x+y=1 sein. Wähle zwei verschiedene Paare (x|y) für die das gilt und bestimme jeweils dazu z (entweder mit E₁ oder mit E₂). Dann hast du zwei Punkte auf der Schnittgeraden, aus denen du ihre Geradengleichung entwickeln kannst.