DGL: Lösung durch Substitution

Question

Ich schlage mich derzeit mit Anfangswertproblemen rum und bin dabei über das folgende gestolpert:

Aufgabe:

u'(t) = (1/2)*((u(t)/t)^2 +1)    u(1) = 1

Problem/Ansatz:

Mit Variation der Konstanten und Trennung der Variablen war ich bisher erfolglos und mir gehen die Ideen für weitere Ansätze aus... Wäre sehr dankbar für nen Wink in die richtige Richtung.

Answer 1

u'(t) = (1/2)*((u(t)/t)^2 +1)

Substituiere:

z=u(t)/ t

u(t)= z *t

u' =z' *t+z

-->

z' t+z= 1/2(z^2+1) ->Trennung d Variablen

usw.

Comments

Substitution... Ich bin ein Schaf.

Vlt. sollte ich mal zur Abwechslung andere Aufgaben üben. Vielen Dank auf jeden Fall :)

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Naja, das führt mich irgendwann zu:

\( \int\limits_{u0}^{u} \) 1/0.5z(t)^2-2*z(t)+0,5 dz= \( \int\limits_{u0}^{u} \) 1/t dz

Da braucht man Partialbruchzerlegung, was aber hinten und vorne nichts wird...

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Fehler in den Termen.

1/v^2 -2v +1

und 1/2t

müsste es heißen. Damit komme ich dann aber auch nicht weiter :/

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Du brauchst keine PBZ,

v^2 -2v +1= (v-1)^2

Dieses Integral kann durch Substitution gelöst werden.

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Da lag es jetzt nicht mehr an der PBZ

am Ende komme ich auf

\( \int\limits_{u1}^{u} \) -1/v-1 dv = \( \int\limits_{u1}^{u} \) 1/ t dv

Wenn ich das integriere lande ich bei -ln(v-1) und wenn ich da u1 =1 als Integrationsgrenze einsetzte komme ich auf ln(0) und der ist ja nicht definiert :/

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ich habe erhalten

u(t)=  ((-2)/(ln|t| +C)  +1)*t

Die AWB eingesetzt:

0= -2/c ->keine Lösung mittels AWB

Nun kann sein , das hier ein Druckfehler vorliegt,

oder hast Du die Aufgabe falsch abgeschrieben?

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Wenn ich 1/(v-1)^2 integriere, lande ich bei -ln(1/(v-1))

Ich kann leider nicht wirklich nachvollziehen, wie du zu deinem Ergebnis gelangen konntest :/

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Deine Lösung scheitert im Übrigen mit der Probe v(1) = 1 .

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Mein letzer Teil des Rechenweges:

z' t+z= 1/2(z^2+1)  |*2

2 (z' t+z)= z^2+1

2 ((dz/dt) t+z)= z^2+1

2 ((dz/dt) t+z)= z^2 -2z +1

(2 dz)/(z^2-2z+1)= dt/t

(-2)/(z-1)= ln|t| +C

->nach z unstellen:

z= (-2)/(ln|t|+C) +1

Resubstitution: z=u(t)/t

u(t)/t  = (-2)/(ln|t|+C) +1

u(t)  =((-2)/(ln|t|+C) +1) * t Das ist die Lösung dieser DGL.

Allerdings gibt es mit u(1)=1

keine Lösung mit dieser AWB.