Rekonstruieren Sie eine Matrix A

Question

Aufgabe:

Bei dieser Aufgabe handelt es sich um gezeigte Figuren der Vektoren (\( \begin{pmatrix} 4\\0\\\end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\4\\ \end{pmatrix} \) unter der Abbildung f: ℝ2—> ℝ².   mit der x —> A*v (wobei A eine Matrix ist).

a) Rekonstruieren Sie die Matrix A

Comments

Kind, du hättest das Foto zu der Aufgabe mitposten sollen.. Daraus ergibt sich, dass die Vektoren (3,2) und (-2,3) ebenfalls erreicht werden. Das sieht man aber nur auf dem Bild neben der Aufgabe! Dann bildest du ein LGS


4 a_11 + 0 a_12 = 3

4 a_21 + 0_a22 = 2

0 a_11 + 4 a_12 = -2

0 a_12 + 4 a_22 = 3


auflösen ergibt: a_11 = 0,5  ;  a_12 = -0,5  ; a_21 = 0,5, a_22 = 0,75

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Aber kurze Frage, wie kommst auf die Vektoren (3, 2) und (-2, 3)?

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Öffne das Aufgabenblatt mal auf der Veranstaltungsseite vom Prof. Da siehst du ganz deutlich, dass der blaue Pfeil durch den Punkt (3,2) und der rote Pfeil durch (-2,3) geht. Das ist mir aber auch erst aufgefallen, als ich's online gesehen habe. Wenn du es dir ausdruckst, sieht man's nicht so gut.

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Stimmt tatsächlich erkenne ich  (3,2) und (-2,3)  darauf wäre ich auf meinem Blatt nicht gekommen.

Vielen Dank marceline :)

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bist du mittlerweile auf die Lösung von Aufg. 7.4 gekommen?

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Ja bin ich

Da muss man ja zeigen oder widerlegen ob stimmen oder nicht

Bei der a) habe ich es widerlegt indem gezeigt habe dass es linear abhängig ist da habe ich beliebig v1......vn ∈V genommen und μ1......μn ∈ℝund w∈W und β∈ℝ da habe bewiesen das mit dieser Linearkombination gleich 0 ist aber es nicht für alle gilt

Da war ich mir etwas unsicher

Answer 1

Ist die Aufgabe vollständig?

Ich hätte jetzt herausgelesen, dass A gesucht ist für

A (4,0) = (0,4)

dann ist A die Einheitsmatrix mit vertauschen Zeilen...

Comments

Also ich habe die Aufgabe noch nicht vollständig, ich am überlegen ob es beweise in dem ich annehme dass

Sei A ∈ℝ^2x2      

_{Dann wird A als dargestellte lineare Abbildung mit f a: R^2 —>R^2 wobei fa(x) = A*x entspricht, durch oben genannte Funktion sind es Einheitsvektoren des R^2 dann gilt quasi} 

_{f\( \begin{pmatrix} 4\\0\\ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\4\\ \end{pmatrix} \)} 

_{Bin mir aber da total unsicher} 

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Ich meinte allerdings Deinen Aufgabentext - der sieht unvollständig aus.

Wenn also, wie ich vermute die Abbildung f_A

\(f_A\left(\left(\begin{array}{r}4\\0\\\end{array}\right) \right) = \left(\begin{array}{r}0\\4\\\end{array}\right)\)

gesucht ist.

A= Einheitsmatrix mit vertauschten Zeilen - wie oben schon gesagt

Answer 2

Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren

1
0

und

0
1

Comments

Also heißt es, dass die Vektoren eine Spieglung darstellen bzw. \( \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \) , aber muss dabei das LGS anwenden?

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Also heißt es, dass die Vektoren eine Spieglung darstellen bzw. \( \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \) , aber muss dabei das LGS anwenden?

Oder würde diese obige Darstellungsmatrix reichen?

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handelt es sich um gezeigte Figuren der Vektoren

Das sagt mir nicht genug aus.

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Allgemeine Lösung: Wird ein Punkt mit den Koordinaten (x;y) mit einen Drehwinkel α um den Ursprung gedreht, so erhält man die neuen Koordinaten durch die Multiplikation von

\( \begin{pmatrix} cos α  & -sin α \\ sin α & cos α \end{pmatrix} \) mit \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) .

Im konkreten Fall handelt es sich um eine Drehung mit  α=90°.