Hoch- und Tiefpunkte einer Parameterfunktionen allgemein bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist folgende Parameterfunktion

f(x) = \( \frac{2}{t} \)x³ - 2x² + \( \frac{t}{2} \)x

Berechne die Hoch- und Tiefpunkte in Abhängigkeit von f

Probem/Ansatz:

Ich weiß nicht, ob meine Ableitungen richtig sind.

Bei der Bestimmung der Extrema bin ich nicht sicher, wie ich das machen soll (x ausklammern, Satz vom Nullprodukt etc. )

Answer 1

Mein Problem: Ich weiß auch nicht, ob deine Ableitungen richtig sind, denn sie werden irgendwie nicht angezeigt. Versuche das Abschicken nochmal.

Comments

So jetzt müsste es klappen...

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Die Ableitungen sind richtig.

Wie löst du quadratische Gleichungen?

abc-Formel (das geht direkt) oder

pq-Formel?

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am liebsten mit der pq-formel...

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Dann setze die erste  Ableitung =0 und multipliziere diese Gleichung mit t/6,

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Ich habe das nochmal versucht, bekomme aber leider kein Ergebnis raus. Stehe auf dem Schlauch... Könntest du mir ggf. noch etwas helfen?

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Wenn du meinen Hinweis befolgt hast, müsstest du zwei Lösungen der Form

t/3 ±√... erhalten haben. Wo ist dein konkretes Problem?

Mit meinem Hinweis hast du p=-4t/6 und q=t²/12. Setze einfach in die pq-Formel ein.

Bitte nicht wieder die Ausflüchte "bekomme aber leider kein Ergebnis raus".

WAS bekommst du raus?

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Ich habe da jetzt stehen:

x1, 2 = 4/3 +- \( \sqrt{-16/36t²-t²/12} \)

doch dann komme ich wirklich nicht weiter

Answer 2

\(f(x) =  \frac{2}{t} x^3 - 2x^2 +  \frac{t}{2} x\)

Berechne die Hoch- und Tiefpunkte in Abhängigkeit von t.

\(f'(x) =  \frac{6}{t} x^2 - 4x +  \frac{t}{2} \)

\(\frac{6}{t} x^2 - 4x +  \frac{t}{2}=0|\cdot \frac{t}{6}\)

\(x^2 - \frac{2t}{3}x =-\frac{t^2}{12}\)  quadratische Ergänzung:

\(x^2 - \frac{2t}{3}x+( \frac{t}{3})^2=-\frac{t^2}{12}+( \frac{t}{3})^2\)     2.Binom:

\((x - \frac{t}{3})^2=\frac{t^2}{36}|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x - \frac{t}{3}=\frac{t}{6}\)

\(x_1  =\frac{t}{2}\)

\(f(\frac{t}{2}) =  \frac{2}{t} (\frac{t}{2}) ^3 - 2(\frac{t}{2}) ^2 +  \frac{t}{2} (\frac{t}{2})=0 \)

2.)

\(x - \frac{t}{3}=-\frac{t}{6}\)

\(x_2  =\frac{t}{6}\)

\(f(\frac{t}{6}) =  \frac{2}{t} (\frac{t}{6})^3 - 2(\frac{t}{6})^2 +  \frac{t}{2} (\frac{t}{6})=\frac{t^2}{27}\)

Art der Extremwerte:

\(f''(x) =  \frac{12}{t} x - 4 \)

\(f''(\frac{t}{2}) =  \frac{12}{t} (\frac{t}{2}) - 4 =6-4=2>0\)    Mimimum

\(f''(\frac{t}{6}) =  \frac{12}{t} (\frac{t}{6}) - 4=2-4=-2<0 \)   Maximum

Answer 3

f(x) = 2/t·x^3 - 2·x^2 + t/2·x

Extrempunkte

f'(x) = 6/t·x^2 - 4·x + t/2 = 0
x = (4 ± √(16 - 4·6/t·t/2)) / (2·6/t)
x = (4 ± 2) / (12/t) → x = t/6 ∨ x = t/2

f(t/6) = t^2/27 → HP(t/6 | t^2/27)
f(t/2) = 0 → TP(t/2 | 0)