Gegeben sind zwei Ebenengleichungen (AB), Schnittgerade ermitteln

Question

Gegeben sind zwei Ebenengleichungen (AB). Ich habe nun für t=1/4 herausbekommen. Was muss ich jetzt noch machen, um die Schnittgerade herauszufinden?

Answer 1

Hallo Vientiane,

\(t=z=4\) bis hierhin ist alles richtig. Das bedeutet, dass sich die Schnittgerade in der Ebene von \(z=4\) befindet. Es verbleibt ein Zusammenhang zwischen \(x\) und \(y\). Aus \(E_2\) folgt $$\begin{aligned} E_2: \space 2x -3y +4z &= 16 &&\left| z=4\right. \\ 2x - 3y + 16 &= 16  &&\left| -16\right. \\ 2x - 3y &= 0 \\ y &= \frac23 x\end{aligned}$$ Wenn Du jetzt \(x=t\) setzt, dann erhält man für die Schnittgerade: $$g: \space \vec{x} = \begin{pmatrix} t\\ \frac23 t\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 4 \end{pmatrix}  + t \begin{pmatrix} 1\\ \frac23\\ 0 \end{pmatrix} $$ Im Geoknecht sieht man, dass das Ergebnis sinnvoll ist

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen) Die blaue Ebene ist \(E_1\) und die rote \(E_2\).

Gruß Werner

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Vielen lieben Dank für die Hilfe!! :) Sie haben mir echt weitergeholfen und ich habe es nun verstanden! :)

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... freut mich :-)

Answer 2

Hallo nochmal,

ich hoffe, ich kann die Rechnung nachvollziehbar darstellen:

E₁: 4x - 6y - 12t = -48, geteilt durch 2 ergibt

$$E_1: 2x-3y-6t=-24\\E_2: 2x-3y+4t=16$$

I - II ergibt

-10t = -40 ⇒t = 4

Wir setzen y = r

2x - 3r = 0

2x = 3r

x = 3/2r

Jetzt kann man als einen Vektor schreiben:

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{2}r\\r\\4 \end{pmatrix}$$

Um den Parameter r auszuklammern, kann man den Vektor auch so schreiben

$$\begin{pmatrix} 0+r\cdot \frac{3}{2}\\0+r\cdot 1 \\4+r\cdot 0\end{pmatrix}$$

r ausklammern und es bleibt

$$\begin{pmatrix} 0\\0\\4 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1,5\\1\\0 \end{pmatrix}$$

Gruß, Silvia

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Auch Dir vielen Dank für die Hilfe!! :) ihr habt mir beide sehr geholfen!

Wie kommt es, dass Werner-Salomon eine andere gerade hat? oder sind beide gleich?

Mit freundlichen Grüßen :)

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Egal - das sind beides die gleichen geraden! :) Danke für die Hilfe! k=0,667

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Wie kommt es, dass Werner-Salomon eine andere Gerade hat? oder sind beide gleich?

Die können durchaus gleich sein.

In Parametergleichungen für Geraden können die Richtungsvektoren beliebige Länge haben. Die Richtungen müssen gleich (oder entgegengesetz gleich) sein.

Der Stützpunkt kann auf der Geraden beliebig gewählt werden. 

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Wie kommt es, dass Werner-Salomon eine andere gerade hat? oder sind beide gleich?

beide Geraden sind identisch. Der Stützpunkt ist derselbe und der Richtungsvektor ein Vielfaches vom anderen: $$\begin{pmatrix} 1,5\\ 1\\ 0\end{pmatrix} = \frac32\begin{pmatrix} 1\\ \frac 23\\ 0\end{pmatrix}$$