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Anwendungsaufgabe:

Gegeben seien die Raumpunkte \( A(-3|2| 6) \) und \( B(1|3| 2) \).

(a) Wie lang ist die Strecke \( \overline{A B} \)?

(b) Wie groß ist der Winkel \( \gamma \) des Drejecks \( A B O \) beim Punkt \( O(0|0| 0) \)?

(c) Nun haben wir vorher gar nicht geprüft, ob nicht etwa \( O \) ein Punkt der Geraden \( A B \) ist. Wie kann man das nachtrāglich an \( \gamma \) erkennen?

(d) Bestimme eine Gleichung der Ebene durch \( O, A \) und \( B \).

(e) Bestimme eine Gleichung der Ebene durch den Nullpunkt \( O \), auf der die Gerade \( A B \) senkrecht steht, und berechne den Schnittpunkt \( F \) dieser Ebene mit der Geraden \( A B \). Es reicht, wenn du den Parameterwert von \( f \) in deiner Darstellung von \( g \) berechnest.

(f) Stelle fest, ob der Punkt \( F \) zur Strecke \( \overline{A B} \) gehört.

(g) Die Sonne scheint, und die Strecke \( A B \) macht einen Schatten auf dem Boden - das ist die \( x y \)-Ebene. Der Schatten von \( A \) ist \( A^{\prime}(3|-1| 0) \). Wo ist der Schattenpunkt \( B^{\prime} \) von \( B \) ? Zeichne eine Skizze zu deinem Ansatz.

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Die Gleichung für eine Ebene die senkrecht auf einer Geraden steht erhält man aus der Normalform \( n\cdot (x-x_0) \) wobei \( n \) der Vektor ist, der senkrecht auf der Geraden steht und \( x_0 \)ein Punkt in der Ebene ist.

\( n \) ist durch die Gerade durch \( A \) und \( B \) gegeben und \( x_0 \) ist der Ursprung. Damit hast Du die Ebenengleichung.

Gleichsetzen der Geraden durch \( A \) und \( B \) mit der Ebene ergibt den Durchstosspunkt.

Avatar von 39 k

Ich verstehe nicht genau, was ich womit gleichsetzen soll.?

Schreib doch erst mal dei Ebenengleichung und die Geradengleichung auf.

Kann ich die Ebenengleichung von d) nehmen?

Nein, das ist eine Ebene durch drei Punkte. Mach doch das was ich geschrieben habe.

Das ist mein zweites Problem. Ich weiß wohl wie ich die aufstelle. Nur durch den nullpunkt nicht. Ist das alles null oder wie?

Hast Du den die Gerade, die senkrecht auf der Eben steht. Rechne die doch mal aus. Dann sehen wir weiter.

So hier habe ich sie:

\( g: ~  x(t)=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 6\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}4 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \)

Ich hoffe sie stimmt.

Ja, das ist richtig. Das ist der Normalenvektor der Ebene. Den kannst Du in die Gleichung einsetzen für den Vektor \( n \) und da die Ebene durch den Ursprung geht, kannst Du für \( x_0=0 \) einsetzten, also den Vektoren mit drei Nullen, da \( x_0 \in \mathbb{R}^3 \). Dann hast Du die Ebenengeichung.

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