Gegeben seien die Raumpunkte. Stelle fest, ob der Punkt F zur Strecke AB gehört.

Question

Anwendungsaufgabe:

Gegeben seien die Raumpunkte \( A(-3|2| 6) \) und \( B(1|3| 2) \).

(a) Wie lang ist die Strecke \( \overline{A B} \)?

(b) Wie groß ist der Winkel \( \gamma \) des Drejecks \( A B O \) beim Punkt \( O(0|0| 0) \)?

(c) Nun haben wir vorher gar nicht geprüft, ob nicht etwa \( O \) ein Punkt der Geraden \( A B \) ist. Wie kann man das nachtrāglich an \( \gamma \) erkennen?

(d) Bestimme eine Gleichung der Ebene durch \( O, A \) und \( B \).

(e) Bestimme eine Gleichung der Ebene durch den Nullpunkt \( O \), auf der die Gerade \( A B \) senkrecht steht, und berechne den Schnittpunkt \( F \) dieser Ebene mit der Geraden \( A B \). Es reicht, wenn du den Parameterwert von \( f \) in deiner Darstellung von \( g \) berechnest.

(f) Stelle fest, ob der Punkt \( F \) zur Strecke \( \overline{A B} \) gehört.

(g) Die Sonne scheint, und die Strecke \( A B \) macht einen Schatten auf dem Boden - das ist die \( x y \)-Ebene. Der Schatten von \( A \) ist \( A^{\prime}(3|-1| 0) \). Wo ist der Schattenpunkt \( B^{\prime} \) von \( B \) ? Zeichne eine Skizze zu deinem Ansatz.

Answer 1

Die Gleichung für eine Ebene die senkrecht auf einer Geraden steht erhält man aus der Normalform \( n\cdot (x-x_0) \) wobei \( n \) der Vektor ist, der senkrecht auf der Geraden steht und \( x_0 \)ein Punkt in der Ebene ist.

\( n \) ist durch die Gerade durch \( A \) und \( B \) gegeben und \( x_0 \) ist der Ursprung. Damit hast Du die Ebenengleichung.

Gleichsetzen der Geraden durch \( A \) und \( B \) mit der Ebene ergibt den Durchstosspunkt.

Comments

Ich verstehe nicht genau, was ich womit gleichsetzen soll.?

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Schreib doch erst mal dei Ebenengleichung und die Geradengleichung auf.

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Kann ich die Ebenengleichung von d) nehmen?

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Nein, das ist eine Ebene durch drei Punkte. Mach doch das was ich geschrieben habe.

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Das ist mein zweites Problem. Ich weiß wohl wie ich die aufstelle. Nur durch den nullpunkt nicht. Ist das alles null oder wie?

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Hast Du den die Gerade, die senkrecht auf der Eben steht. Rechne die doch mal aus. Dann sehen wir weiter.

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So hier habe ich sie:

\( g: ~  x(t)=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 6\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}4 \\ 1 \\ -4\end{array}\right) \)

Ich hoffe sie stimmt.

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Ja, das ist richtig. Das ist der Normalenvektor der Ebene. Den kannst Du in die Gleichung einsetzen für den Vektor \( n \) und da die Ebene durch den Ursprung geht, kannst Du für \( x_0=0 \) einsetzten, also den Vektoren mit drei Nullen, da \( x_0 \in \mathbb{R}^3 \). Dann hast Du die Ebenengeichung.