Welche der Mengen sind linnear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Welche der Mengen sind linnear unabhängig:

a){(1,2,1),(2,3,1),(1,3,2)} ⊆ ℝ³ über ℝ

b){(1,0,i),(2-i,-1,1+i),(1,-i,1+i)} ⊆ ℂ³ über ℂ

c){(1,0,i),(2-i,-1,1+i),(1,-i,1+i)} ⊆ ℂ³ über ℝ

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

a) Löse das Gleichungssystem

        \(x\cdot\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + y\cdot\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} + z\cdot\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\).

Die Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung hat.

b) Löse das Gleichungssystem

      \(x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\i \end{pmatrix} + y\cdot\begin{pmatrix} 2-i\\-1\\1+i \end{pmatrix} + z\cdot\begin{pmatrix}1\\-i\\1+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\)

in ℂ. Die Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung hat.

c) Löse das Gleichungssystem

      \(x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\i \end{pmatrix} + y\cdot\begin{pmatrix} 2-i\\-1\\1+i \end{pmatrix} + z\cdot\begin{pmatrix} 1\\-i\\1+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}\)

in ℝ. Die Menge ist genau dann linear unabhängig, wenn das Gleichungssystem nur eine einzige Lösung hat.

Comments

Danke für deine Antwort.

Kannst du mir sagen wie man das bei b) in ℂ macht?

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In ℂ macht man das prinzipiell genau so wie in ℝ.

Einziger Unterschied ist, dass du in ℂ das (3+5i)-fache der ersten Gleichung von dem (-4+2i)-fachen der dritten Gleichung abziehen darfst.